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4次方程式の具体的解き方
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4次方程式に対し、因数定理を2回使って、
   (1次式)×(1次式)×(2次式) …(1)
と因数分解するのは邪道である。なぜならば、4次式は
   (2次式)×(2次式) …(2)
と因数分解できることは言えるが、(1)のように因数分解しようとすると、複素数係数になる可能性がある。
一般にはタイルで、(2)の形に因数分解することになる。

【問題1】 4次方程式 $x^{4}+x^{3}-5x^{2}+13x-6=0$ を解け。---

(解) 下図のようにタイル図を描く。

時間はかかるが、試行錯誤的に因数分解できて、
   $(x^{2}+3x-2)(x^{2}-2x+3)=0$
だから
   $x=\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2},1 \pm \sqrt{2}i$ …(答)


次に、3次の項のない4次方程式(フェラーリ型と呼んでおこう)を解いてみる。

【問題2】 4次方程式 $x^{4}+2x^{2}+4x+8=0$ を解け。---

(解) 下図のようにタイル図を描く。

3次の項が消えるから$a>0$として
   $(x^{2}+ax+b)(x^{2}-ax+c)=x^{4}+(b+c-a^{2})x^{2}+a(c-b)x+bc$ …(3)
$bc=8$から$(b,c)=(2,4),(-4,-2),(1,8),(-8,-1)$だが、$a(c-b)=4$より$a=2,(b,c)=(2,4),(-4,-2)$まで絞られ、$b+c-a^{2}=b+c-4=2$で
   $a=2,b=2,c=4$
これでめでたく因数分解できて、
   $(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+4)=0$
だから
   $x=-1 \pm i, 1\pm \sqrt{3}i$ …(答)

3次の項だけでなく、1次の項もない4次方程式が複2次式である。(3)より、$a(c-b)=0$だから、複2次には2つのタイプがあることが分かる。

【問題3】 4次方程式 $x^{4}+3x^{2}-4=0$ を解け。---

(解) 複2次の$a=0$の例題である。(3)は
   $(x^{2}+b)(x^{2}+c)=x^{4}+(b+c)x^{2}+bc$
となるから、問題の式は
   $ax^{4}+Bx^{2}+C=(x^{2}+b)(x^{2}+c)$
となる。だから、$x^{2}$をビン詰めまたは缶詰め($x^{2}=t$と置き換えること)にすればよいと分かる。いまの場合なら
   $x^{4}+3x^{2}-4=(x^{2}+4)(x^{2}-1)$
よって
   $x=\pm 2i,\pm 1$ …(答)

$x^{2}=t$と置き換えてもたすき掛けができなければ、平方完成ができる。

【問題4】 4次方程式 $x^{4}+3x^{2}+4=0$ を解け。---

(解) $x^{2}=t$と置き換えて判別式を計算すると
   $D=3^{2}-4 \temes 1 \times 4= -7$
で2乗数にならないから、たすき掛けできない。そこで(3)のおいて$b=c$の場合であると分かり、
   $(x^{2}+ax+b)(x^{2}-ax+b)$
の線で考える。これならば問題の式は
   $ax^{4}+Bx^{2}+C=(x^{2}+b)^{2}-a^{2}x^{2}$
のように平方完成できる。いまの場合は
   $x^{4}+3x^{2}+4=(x^{2}+2)^{2}-x^{2}$

   $x^{4}+3x^{2}+4=(x^{2}-2)^{2}+7x^{2}$
のいずれかだが、前者になる。(後者を採用すると、複素係数の多項式の積に因数分解され、そのあと2次方程式の解の公式を適用するのが辛くなる。)
結局、
   $x^{4}+3x^{2}+4=(x^{2}+x+2)(x^{2}-x+2)$
よって
   $x=\frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{2},\frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}$ …(答)

最後に相反方程式という特殊な型の問題をやってみよう。相反とは係数が左右対称となった方程式、すなわち
   $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$
の形の方程式である。

【問題5】 4次方程式 $x^{4}-4x^{3} +5x^{2} -4x +1=0$ を解け。---

(解) 両辺を$x^{2}$で割って
   $x^{2}-4x +5 -4\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2}}=0$
ここで$x+\frac{1}{x}=t$と缶詰めにすれば、$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$に注意して
   $t^{2}-4t+3=0$
となるから
   $(t-1)(t-3)=0$
これより
   $t=x+\frac{1}{x}=1,3$
分母$x$を払って
   $x^{2}-x+1=0,x^{2}-3x+1=0$
だから、解は
   $x=\frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}, \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ …(答)

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