[婆茶留高校数学科☆HP] Top pageに戻る このページを閉じる

3次方程式の具体的解き方
Copyright (C) virtual_high_school, 2018

3次式は(1次式)×(2次式)と因数分解できる場合と、さらに(1次式)×(1次式)×(1次式)まで因数分解できる場合がある。いずれにせよ、因数定理(組立除法)を利用する。

【問題1】 3次方程式 $x^{3}-7x+6=0$ を解け。---

組立除法(ホーナーの方法)を使う。

(1) 左上のカギ括弧に適当な数値を書く。今の場合、定数項=6の約数の中から$x=1$を書く。
(2) 組立除法を実行すると、商は$x^{2}+x-6$で余りは$0$と分かる。
(3) この後、商に対してたすき掛けを実行する。
(4) 結局、因数分解ができて
   $(x-1)(x-2)(x+3)=0$
(5) 求める解は
   $x=1,2,-3$ …(答)

上の解答の中で「定数項の約数」を代入すればよいことを使った。その理由は下図から分かる。
   
$x^{3}+bx^{2}+cx+d$のように最高次係数=1のときは、
   $kx_{0}=-d$
より、代数すべき値$x_{0}$は定数項$d$の約数である。(例えば$d=6$なら、その約数は$\pm 1, \pm 2,\pm3,\pm 6$である。)

また、$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$のときは次のようになる。
もし
   $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(a'x+b')(a''x^{2}+b''x+c'')$
のように、整数係数の多項式の積に因数分解できたとすると
   $a' a''=a,b' c'' =d$
だから$a'$は$a$の約数であり、$b'$は$d$の約数である。代入して0になる$x$の値は
   $x_{0}=-\frac{b'}{a'}$
だから
   $x_{0}=-\frac{(d\mbox{の約数} )}{(a\mbox{の約数} )}$

【問題2】 3次方程式 $x^{3}-4x-3=0$ を解け。---


(1) 左上のカギ括弧に、定数項=$-3$の約数の中から$x=-1$を書く。
(2) 組立除法を実行すると、商は$x^{2}-x-3$で余りは$0$と分かる。
(3) この商はたすき掛けができなさそうなので、本当に因数分解できないかを確認するために判別式を計算すると
   $D=(-1)^{2}-4\times 1 \times (-3)=13$
で2乗数ではないので、できないことが分かる。
(4) 1つ目の解は$x=-1$と分かっているので、他の解を解の公式で求めて
   $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$
(5) 求める解は
   $x=-1,\frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$ …(答)


【問題3】
3次方程式 $x^{3}=1$ を解け。---

(1) すべて左辺に移項して、$x^{3}-1=0$
(2) このあと、組立除法を実行して解を求める。(中略)
(3)解は
   $x=1,\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$ …(答)

このように、組立除法を使うのであって
   $a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$
の公式は使わない。なぜか?
この因数分解の公式は因数定理を使って証明されるからである。
   
$a^{3}+b^{3}$なら、上のように組立除法を行って$a+b$で割った商は $a^{2}-ba+b^{2}$となるからである。
ところが教科書を見るとたいがい、この公式は因数定理を使わずに、右辺を展開すれば分かるから、となっている。それは章立ての関係で、因数定理より因数分解の公式が先行しているから、仕方なくそうしているのであり、ちゃんとした証明は因数定理を習うまで保留されていたのである。いま因数定理を習ったのであれば、それを使って【問題3】を解くのが素直であろう。


★「婆茶留高校」は架空の存在であり、実在の^{3}\pm b^{3}=人物、団体とは関係ありません。
<-- クリックして婆茶留高校へメール送信 mailto: virtual_h_s@yahoo.co.jp 
婆茶留高校数学科HP http://www.virtual-hs.com/ Powered by   Copyright(c) virtual_high_school, 2001-2022