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判別式を基本対称式で表す

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§1. 判別式の定義
§2. 3次式の判別式
§3. 2次式の判別式

§1. 判別式の定義

対称式(文字を交換しても変わらない式)は基本対称式で表すことができる。
そういう定理(対称式の基本定理という)があるのだが、対称式が実際にどのように表されるのか、具体的な問題で計算をしてみよう。
以下に行う方法はコーシーによる。

【問題1】 monic な(首項の係数が1の)3次方程式
   $x^3+px^2+qx+c=0$
の解を$x_{1},x_{2},x_{3}$とするとき、判別式$D$は
   $D=\{(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{3}-x_{1})\}^{2}$
で定義される。これは明らかに$x_{1},x_{2},x_{3}$についての対称式である。そこで$D$を基本対称式
   $a_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3},$
   $a_{2}=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1},$
   $a_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}$
で表せ。(何が判別できるかと言うと、例えば重解を持つか否かが分かる。)---


【解】帰納的に、基本対称式の変数の個数を1減らしたものを考える。そこで
   $b_{1}=x_{2}+x_{3},$
   $b_{2}=x_{2}x_{3}$
とする。
次に漸化式を導く。
   $a_{1}=x_{1}+b_{1}$
より
   $b_{1}=a_{1}-x_{1}$
であり、
   $a_{2}=x_{1}(x_{2}+x_{3})+x_{2}x_{3}=b_{1}x_{1}+b_{2}$
より
   $b_{2}=a_{2}-b_{1}x_{1}=a_{2}-a_{1}x_{1}+x_{1}^{2}$
である。
これらを使えば$D$を$x_{1}$と$b_{1},b_{2}$で表すことができる。
そこで$x_{1}$が変形できないかを考える。
$x_{1}$($x_{2},x_{3}$もそうだが)は、3次方程式
   $(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0$
すなわち
   $x^{3}-a_{1}x^{2}+a_{2}x-a_{3}=0$
の解である。代入すれば
   $x_{1}^{3}=a_{1}x_{1}^{2}-a_{2}x_{1}+a_{3}$
さらに
   $x_{1}^{4}=(a_{1}x_{1}^{2}-a_{2}x_{1}+a_{3})x_{1}$
   $=a_{1}(a_{1}x_{1}^{2}-a_{2}x_{1}+a_{3})-a_{2}x_{1}^{2}+a_{3}x_{1}$
   $=(a_{1}^{2}-a_{2})x_{1}^{2}+(a_{3}-a_{1}a_{2})x_{1}+a_{1}a_{3}$

では$D$を計算してしよう。
$D=\{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})\}^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}$
$=\{x_{1}^{2}-(x_{2}+x_{3})x_{1}+x_{2}x_{3}\}^{2} \{(x_{2}+x_{3})^{2}-4x_{2}x_{3}\}$
$=\{x_{1}^{2}-b_{1}x_{1}+b_{2}\}^{2} \{b_{1}^{2}-4b_{2}\}$
$=\{x_{1}^{2}-(a_{1}-x_{1})x_{1}+a_{2}-a_{1}x_{1}+x_{1}^{2}\}^{2} \{(a_{1}-x_{1})^{2}-4(a_{2}-a_{1}x_{1}+x_{1}^{2})\}$
$=\{ 3x_{1}^{2}-2a_{1}x_{1}+a_{2}\}^{2} \{ -3x_{1}^{2}+2a_{1}x_{1}+(a_{1}^{2}-4a_{2}) \}$

ここで、前半の2乗部分だけ取り出して計算すると
$\{ 3x_{1}^{2}-2a_{1}x_{1}+a_{2} \}^{2}$
$=9x_{1}^{4}-12a_{1}x_{1}^{3}+(4a_{1}^{2}+6a_{2})x_{1}^{2}-4a_{1}a_{2}x_{1}+a_{2}^{2}$
$=9 \{ (a_{1}^{2}-a_{2})x_{1}^{2} +(a_{3}-a_{1}a_{2})x_{1} +a_{1}a_{3} \} -12a_{1}(a_{1}x_{1}^{2}-a_{2}x_{1}+a_{3})+(4a_{1}^{2}+6a_{2})x_{1}^{2}-4a_{1}a_{2}x_{1}+a_{2}^{2}$
$=\{ 9(a_{1}^{2}-a_{2})-12a_{1}^{2}+(4a_{1}^{2}+6a_{2}) \} x_{1}^{2} + \{ 9(a_{3}-a_{1}a_{2})+12a_{1}a_{2}-4a_{1}a_{2} \} x_{1} +(9a_{1}a_{3}-12a_{1}a_{3}+a_{2}^{2})$
$=(a_{1}^{2}-3a_{2})x_{1}^{2} +(9a_{3}-a_{1}a_{2})x_{1} +(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3})$
となる。

これに項の後半を掛けると
$\{ (a_{1}^{2}-3a_{2})x_{1}^{2} +(9a_{3}-a_{1}a_{2})x_{1} +(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}) \} \{ -3x_{1}^{2}+2a_{1}x_{1}+(a_{1}^{2}-4a_{2}) \}$
$=-3(a_{1}^{2}-3a_{2})x_{1}^{4} + \{ 2a_{1}(a_{1}^{2}-3a_{2})-3(9a_{3}-a_{1}a_{2}) \} x_{1}^{3}+\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3})(a_{1}^{2}-4a_{2})$
$=-3(a_{1}^{2}-3a_{2})(\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+a_{1}a_{3})+(2a_{1}^{3}-3a_{1}a-27a_{3})(\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+a_{3})+\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3})(a_{1}^{2}-4a_{2})$
$=\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}-3(a_{1}^{2}-3a_{2})a_{1}a_{3}+(2a_{1}^{3}-3a_{1}a_{2}-27a_{3})a_{3}+(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3})(a_{1}^{2}-4a_{2})$
$=\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+(a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{1}^{3}a_{3}+18a_{1}a_{2}a_{3}-4a_{2}^{3}-27a_{3}{2})$

結局
$D=\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+(a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{1}^{3}a_{3}+18a_{1}a_{2}a_{3}-4a_{2}^{3}-27a_{3}{2})$
となるのだが、ここで変数$x_{1}$を$x_{2}$に取り換えても不変であるため、
$D=\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+(a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{1}^{3}a_{3}+18a_{1}a_{2}a_{3}-4a_{2}^{3}-27a_{3}{2})$
$=\mbox{○}x_{2}^{2}+\mbox{○}x_{2}+(a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{1}^{3}a_{3}+18a_{1}a_{2}a_{3}-4a_{2}^{3}-27a_{3}{2})$
これが恒等的に成り立つから、定数項以外の係数はすべてゼロ($\mbox{○}$の部分が0)になる。
したがって
$D=a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{1}^{3}a_{3}+18a_{1}a_{2}a_{3}-4a_{2}^{3}-27a_{3}^{2}$ …(答)


§2. 3次式の判別式

【問題2】 monic な3次方程式
   $x^3+px^2+qx+r=0$
の判別式 $D$ を $p,q,r$ で表せ。---

【解】
   $a_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}=-p,$
   $a_{2}=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=q,$
   $a_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}=-r$
だから
$D=a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{1}^{3}a_{3}+18a_{1}a_{2}a_{3}-4a_{2}^{3}-27a_{3}^{2}$
$=p^2q^2-4p^3r+18pqr-4q^3-27r^2$ …(答)

符号が変わるかと思ったけど、なんだ同じ式だ。


【問題3】 一般の3次方程式
   $ax^3+bx^2+cx+d=0$
の判別式 $D$ を $a,b,c,d$ で表せ。---


【解】 monic でないときの判別式をまだ定義してなかった。どうしよう?
両辺を $a$ で割って
   $x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$
だったら、前問より判別式は
$(\frac{b}{a})^2(\frac{c}{a})^2-4(\frac{b}{a})^3(\frac{d}{a})+18(\frac{b}{a})(\frac{c}{a})(\frac{d}{a})-4(\frac{c}{a})^3-27(\frac{d}{a})^2$
だから、分数式にならぬように $a^4$ 倍したものを判別式と定義しよう。すなわち、3次式の場合の定義は
   $D=a^4\{(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{3}-x_{1})\}^{2}$
であり、その結果は
$D=b^2c^2-4b^3d+18abcd-4ac^3-27a^2d^2$ …(答)


§3. 2次式の判別式

【問題4】 2次方程式
   $ax^2+bx+c=0$
の判別式 $D$ を $a,b,c$ で表せ。---


【解】 解を $x_{1},x_{2}$ とすれば
   $(x_{1}-x_{2})^2=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}$
   $=(-\frac{b}{a})^2-4\frac{c}{a}$
   $=\frac{b^2-4ac}{a^2}$
だから、これを $a^2$ 倍したものを判別式の定義とするのがよかろう。実際その通りである。よって
   $D=b^2-4ac$ …(答)
この式の値が 0 であることが重解を持つための必要十分条件である。

(『対称式を基本対称式で表わす』改題)



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