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対称式を基本対称式で表わす
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対称式(文字を交換しても変わらない式)は基本対称式で表すことができる。
そういう定理(対称式の基本定理という)があるのだが、対称式が実際にどのように表されるのか、具体的な問題で計算をしてみよう。
以下に行う方法はコーシーによる。

【問題】 3次方程式の解を$x_{1},x_{2},x_{3}$とするとき、判別式$D$は
   $D=\{(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{3}-x_{1})\}^{2}$
で定義される。これは明らかに$x_{1},x_{2},x_{3}$についての対称式である。そこで$D$を基本対称式
   $a_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3},$
   $a_{2}=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1},$
   $a_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}$
で表せ。---


【解】帰納的に、基本対称式の変数の個数を1減らしたものを考える。そこで
   $b_{1}=x_{2}+x_{3},$
   $b_{2}=x_{2}x_{3}$
とする。
次に漸化式を導く。
   $a_{1}=x_{1}+b_{1}$
より
   $b_{1}=a_{1}-x_{1}$
であり、
   $a_{2}=x_{1}(x_{2}+x_{3})+x_{2}x_{3}=b_{1}x_{1}+b_{2}$
より
   $b_{2}=a_{2}-b_{1}x_{1}=a_{2}-a_{1}x_{1}+x_{1}^{2}$
である。
これらを使えば$D$を$x_{1}$と$b_{1},b_{2}$で表すことができる。
そこで$x_{1}$が変形できないかを考える。
$x_{1}$($x_{2},x_{3}$もそうだが)は、3次方程式
   $(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0$
すなわち
   $x^{3}-a_{1}x^{2}+a_{2}x-a_{3}=0$
の解である。代入すれば
   $x_{1}^{3}=a_{1}x_{1}^{2}-a_{2}x_{1}+a_{3}$
さらに
   $x_{1}^{4}=(a_{1}x_{1}^{2}-a_{2}x_{1}+a_{3})x_{1}$
   $=a_{1}(a_{1}x_{1}^{2}-a_{2}x_{1}+a_{3})-a_{2}x_{1}^{2}+a_{3}x_{1}$
   $=(a_{1}^{2}-a_{2})x_{1}^{2}+(a_{3}-a_{1}a_{2})x_{1}+a_{1}a_{3}$

では$D$を計算してしよう。
$D=\{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})\}^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}$
$=\{x_{1}^{2}-(x_{2}+x_{3})x_{1}+x_{2}x_{3}\}^{2} \{(x_{2}+x_{3})^{2}-4x_{2}x_{3}\}$
$=\{x_{1}^{2}-b_{1}x_{1}+b_{2}\}^{2} \{b_{1}^{2}-4b_{2}\}$
$=\{x_{1}^{2}-(a_{1}-x_{1})x_{1}+a_{2}-a_{1}x_{1}+x_{1}^{2}\}^{2} \{(a_{1}-x_{1})^{2}-4(a_{2}-a_{1}x_{1}+x_{1}^{2})\}$
$=\{ 3x_{1}^{2}-2a_{1}x_{1}+a_{2}\}^{2} \{ -3x_{1}^{2}+2a_{1}x_{1}+(a_{1}^{2}-4a_{2}) \}$

ここで、前半の2乗部分だけ取り出して計算すると
$\{ 3x_{1}^{2}-2a_{1}x_{1}+a_{2} \}^{2}$
$=9x_{1}^{4}-12a_{1}x_{1}^{3}+(4a_{1}^{2}+6a_{2})x_{1}^{2}-4a_{1}a_{2}x_{1}+a_{2}^{2}$
$=9 \{ (a_{1}^{2}-a_{2})x_{1}^{2} +(a_{3}-a_{1}a_{2})x_{1} +a_{1}a_{3} \} -12a_{1}(a_{1}x_{1}^{2}-a_{2}x_{1}+a_{3})+(4a_{1}^{2}+6a_{2})x_{1}^{2}-4a_{1}a_{2}x_{1}+a_{2}^{2}$
$=\{ 9(a_{1}^{2}-a_{2})-12a_{1}^{2}+(4a_{1}^{2}+6a_{2}) \} x_{1}^{2} + \{ 9(a_{3}-a_{1}a_{2})+12a_{1}a_{2}-4a_{1}a_{2} \} x_{1} +(9a_{1}a_{3}-12a_{1}a_{3}+a_{2}^{2})$
$=(a_{1}^{2}-3a_{2})x_{1}^{2} +(9a_{3}-a_{1}a_{2})x_{1} +(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3})$
となる。

これに項の後半を掛けると
$\{ (a_{1}^{2}-3a_{2})x_{1}^{2} +(9a_{3}-a_{1}a_{2})x_{1} +(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}) \} \{ -3x_{1}^{2}+2a_{1}x_{1}+(a_{1}^{2}-4a_{2}) \}$
$=-3(a_{1}^{2}-3a_{2})x_{1}^{4} + \{ 2a_{1}(a_{1}^{2}-3a_{2})-3(9a_{3}-a_{1}a_{2}) \} x_{1}^{3}+\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3})(a_{1}^{2}-4a_{2})$
$=-3(a_{1}^{2}-3a_{2})(\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+a_{1}a_{3})+(2a_{1}^{3}-3a_{1}a-27a_{3})(\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+a_{3})+\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3})(a_{1}^{2}-4a_{2})$
$=\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}-3(a_{1}^{2}-3a_{2})a_{1}a_{3}+(2a_{1}^{3}-3a_{1}a_{2}-27a_{3})a_{3}+(a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3})(a_{1}^{2}-4a_{2})$
$=\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+(a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{1}^{3}a_{3}+18a_{1}a_{2}a_{3}-4a_{2}^{3}-27a_{3}{2})$

結局
$D=\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+(a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{1}^{3}a_{3}+18a_{1}a_{2}a_{3}-4a_{2}^{3}-27a_{3}{2})$
となるのだが、ここで変数$x_{1}$を$x_{2}$に取り換えても不変であるため、
$D=\mbox{○}x_{1}^{2}+\mbox{○}x_{1}+(a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{1}^{3}a_{3}+18a_{1}a_{2}a_{3}-4a_{2}^{3}-27a_{3}{2})$
$=\mbox{○}x_{2}^{2}+\mbox{○}x_{2}+(a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{1}^{3}a_{3}+18a_{1}a_{2}a_{3}-4a_{2}^{3}-27a_{3}{2})$
これが恒等的に成り立つから、定数項以外の係数はすべてゼロ($\mbox{○}$の部分が0)になる。
したがって
$D=a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{1}^{3}a_{3}+18a_{1}a_{2}a_{3}-4a_{2}^{3}-27a_{3}^{2}$■


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