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αを解とする方程式(最小方程式)を作る

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§1. 最小方程式の作り方
§2. 入試問題より

§1. 最小方程式の作り方

【問題1】 $x=3+\sqrt{2}$ が解となる方程式を1つ作れ。---

似たような問題が数学Ⅱの「解と係数の関係」に出ていたということで、つい次のような答案を書きそうになる。

【解1】 $\alpha=3+\sqrt{2}, \beta=3-\sqrt{2}$ とおけば、
$\alpha+\beta=6, \alpha \beta =7$ だから
   $x^{2}-6x+7=0$ …(答)

どこがおかしいのだろうか。

  1. $\alpha=3+\sqrt{2}$ が解であっても、$\beta=3-\sqrt{2}$ も解であるとは言えない。
    解の公式を見れば一目瞭然だと思う方もいるかも知れない。$a,b,c$ が実数で、判別式が正なら確かにそうかもしれない。そうではない場合はどうなるのだろう。
  2. 問題からして、「有理数を係数とする代数方程式($n$次方程式)を作れ」と明示していないことがおかしい。実数係数でよければ $x-3-\sqrt{2}=0$ と、自明な方程式を作ればよくなる。

問題を若干変えて、

【問題2】 $x=3+\sqrt{2}$ が解となる有理数係数の代数方程式を1つ作れ。---

ならば、

【解2】 $x=3+\sqrt{2}$ より、$x-3=\sqrt{2}$を2乗して
   $x^{2}-6x+9=2$
よって
   $x^{2}-6x+7=0$ …(答)

解と係数の関係を使わない分、ストレートであり、しかも 2乗した段階で $x-3=-\sqrt{2}$ すなわち $x=3-\sqrt{2}$ という無縁根が出てくることが分かる。

次は教科書によくある問題だ。

【問題3】 $x=-1,3$ を 2解とする2次方程式を作れ。---

【解3-1】 $x+1=0,x-3=0$ を辺々掛け合わせて
   $(x+1)(x-3)=0$
すなわち
   $x^{2}-2x-3=0$ …(答)

【解3-2】無縁根が出ないように注意して、真ん中が$(-1+3)/2=1$より
   $| x-1 |=2$
の両辺を2乗して
   $(x-1)^{2}=4$
すなわち
   $x^{2}-2x-3=0$ …(答)

3つ目は教科書が好きなやり方。

【解3-3】 $\alpha=-1, \beta=3$ とおけば、
$\alpha+\beta=2, \alpha \beta =-3$ だから
   $x^{2}-2x-3=0$ …(答)

【蛇足】 上の答を「$k(x^{2}-2x-3)=0$, ただし $k$ は任意の 0 でない定数」と書くべきと言うのはウルトラ厳密主義。そこは当然だからはしょって良かろう。
【蛇足2】 $(x+1)(x-3)(x-5)=0$ でも $x=-1,3$ を2解とするが、2次方程式でないからダメだ。だから問題文から「2次方程式を作れ」または「最小次数の方程式を作れ」の言葉は外せない。

高校の教科書には余り出ていない例題を次に。

【問題4】 $x=3+\sqrt{2}+i$ が解となる有理数係数の最小方程式を作れ。---

【解4-1】 $x-3=\sqrt{2}+i$を2乗して
   $x^{2}-6x+9=1+2\sqrt{2}i$
   $x^{2}-6x+8=2\sqrt{2}i$
これをさらに2乗して
   $x^{4}-12x^{3}+52x^{2}-96x+72=0$ …(答)

答の方程式を解けば$x=3\pm \sqrt{2} \pm i$(複号任意)になる筈である。

【解4-2】 教科書が好みそうな解答を作ろう。
$\alpha,\beta,\gamma,\delta=3\pm \sqrt{2} \pm i$
として、4次方程式の解と係数の関係から
$\alpha+\beta+\gamma+\delta=12$
$\alpha \beta+\alpha \gamma +\alpha \delta+ \cdots=?$
いやー、こりゃとてもやってられないな。やーめた。


§2. 入試問題より

【問題5】 3次方程式 $x^3+ax^2+bx-8=0$ ($a,b$ は実数)の 1つの解が $\frac{3-\sqrt{7}i}{2}$ ($i^2=-1$)であるとき、$(a+b)$ の値を求めよ。--- [2010 自治医科大学]

【解5】 $x=\frac{3-\sqrt{7}i}{2}$ より
$(2x-3)^2=(-\sqrt{7}i)^{2}$
$4x^2-12x+16=0$,
$x^2-3x+4=0$
この最小方程式と原方程式から、タイル図を作成する。

これで原方程式は
$x^3-5x^2+10x-8=0$
と分かる。よって
$a+b=(-5)+10=5$ …(答)



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