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3次方程式の解の公式

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【3次関数の対称性】
2次方程式の解の公式は平方完成で証明できる。3次方程式の解の公式なら立方完成だろう。
3次関数
   $ y= f(x) = ax^{3} +bx^{2} +cx+d $
において、対称性を仮定する。3次方程式は3つの解を持つから、対称性は次の形になるだろう:
   $ f(x_{0}+\xi) = f(x_{0}+\xi\omega) = f(x_{0}+\xi\omega^{2}) $
ここに、$\omega$は1の立方虚根のひとつ:
   $ \omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} $
である。
   
このとき、
   $ \omega^{2} = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} , \omega^{3}=1 , \omega^{2} + \omega +1 =0 $
である。

さて、上式を書き直してみる。
   $ f(x_{0}+\xi) =a(x_{0}+\xi)^3+b(x_{0}+\xi)^{2} +c(x_{0}+\xi)+d $
   $ f(x_{0}+\xi\omega) = a(x_{0}+\xi\omega)^3+b(x_{0}+\xi\omega)^{2} +c(x_{0}+\xi\omega)+d $
辺々引いて、
   $ 0= 3ax_{0}^{2}\xi(1-\omega) +3ax_{0}\xi^{2}(1-\omega^{2}) +2bx_{0}\xi(1-\omega)+b\xi^{2}(1-\omega^{2}) +c\xi(1-\omega) $
よって
   $ \xi(1-\omega)\{3ax_{0}^{2}+3ax_{0}\xi(1+\omega)+2bx_{0} +b\xi(1+\omega) + c \} =0 $
ここで $\xi$ は任意と考えているので、両辺を$\xi(1- \omega)$で割って
   $ 3ax_{0}^{2}+3ax_{0}\xi(1+\omega)+2bx_{0} +b\xi(1+\omega) + c =0 $
であるが、$x_{0},\xi \neq 0$ を実数とすれば、左辺の(実部)$=$(虚部)$=0$より
   $\left\{\begin{array}{r}3ax_{0}^{2}+3ax_{0}\xi+2bx_{0}+b\xi + c = 0 \\(3ax_{0}+b) \xi = 0 \end{array} \right.$
第2式から
   $3ax_{0} +b =0$ …… (1)
すなわち
   $x_{0} =\frac{-b}{3a}$
という「放物線の頂点の$x$座標の公式」に相当するものが出る。(実はこれは「変曲点の$x$座標の公式」である。)

また、$\{$ の第1式から第2式を引くと、
   $ 3ax_{0}^{2}+2bx_{0}+ c = 0 $
すなわち微分係数 $f'(x_{0})=0$の式が出る。(臨界点$x_{0}$が満たすべき条件。)
これに、変曲点の$x$座標を代入すると、
   $ 3a \times \frac{b^{2}}{9a^{2}} +2b \times \frac{-b}{3a} +c =0 $
より
   $ b^{2} = 3ac $
を得る。これは臨界点が変曲点でもある訳だから、停留点(下図)が存在する条件である。
   
実際、(1)は第2階微分係数$f''(x_{0})=0$と同値である。だから$ f'(x_{0})=f''(x_{0})=0 $となるから停留点である。

このとき、$f(x)$は「立方完成」できる。やってみると、
   $ ax^{3}+bx^{2}+cx+d = ax^{3}+bx^{2}+\frac{b^{2}}{3a}x+d $
   $ = a \left(x^{3}+\frac{b}{a}x^{2}+\frac{b^{2}}{3a^{2}}x + \frac{b^{3}}{27a^{3}} \right)+ d - \frac{b^{3}}{27a^{2}} $
   $ = a \left(x+\frac{b}{3a} \right)^{3} + d - \frac{b^{3}}{27a^{2}} $
と変形できる。グラフは$y=ax^{3}$ を平行移動したものになる。


【3次関数の標準形】
もちろん、いつも3次関数は立方完成できて$y=ax^{3}$のグラフを平行移動したものになる訳ではない。そのときはどうするか?
その場合、$f'(x)=0$ となる点(臨界点)は、2つあるか、1つもないかのどちらかである。でも臨界点を中心に考えるより、
   $ f''(x)=0 $
となる点(変曲点)を中心に考える方がよさそうだ。こちらなら、必ず1つあって、1つに限られるからだ。
ここは、2次と違うところだ。(2次関数には変曲点はない。)

$f(x)$を変曲点を中心にテイラー展開してみよう。$x=x_{0}+\xi$を代入して、
   $ f(x)=f(x_{0}+\xi) $
   $ = a(x_{0}+\xi)^{3}+b(x_{0}+\xi)^{2} +c(x_{0}+\xi)+d $
   $ = (ax_{0}^{3}+bx_{0}^{2}+cx_{0}+d) + (3ax_{0}^{2}+2bx_{0}+c)\xi + (3ax_{0}+b)\xi^{2} + a\xi^{3} $
ここで、$\xi$を $\xi=x - x_{0}$ ともとに戻せば、
   $ f(x) = f(x_{0})+ f'(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} + \frac{f'''(x_{0})}{3!}(x-x_{0})^{3} $
となる。これがテイラー展開だ。

これに、第2階微分係数$=0$ の式(1)を適用して
   $ f(x) = (ax_{0}^{3}+bx_{0}^{2}+cx_{0}+d) + (3ax_{0}^{2}+2bx_{0}+c)\xi + a\xi^{3} .$
ここで、点$(x_{0},f(x_{0}))$が原点になるように、新座標系 $\xi$-$\eta$を採用すると
   $ \eta = (3ax_{0}^{2}+2bx_{0}+c)\xi + a\xi^{3} $
$\eta$ は $\xi$ の奇関数だから、すべての3次関数のグラフは変曲点を中心にして点対称であることが証明できた。
ここで、
   $ \xi = x-x_{0} = x+\frac{b}{3a} , $
   $ \eta = y - f(x_{0}) = y- \frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{2}} $
であることに注意しておく。
   

以上で、3次関数のグラフは、すべて
   $y = ax^{3} +Bx$ …… (2)
のグラフを$x$軸方向に$-b/(3a)$, $y$軸方向に$(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)/(27a^{2}) $ だけ平行移動したものになっていることが分かった。
ただし、
   $ B = 3ax_{0}^{2} +2bx_{0} +c = \frac{-b^{2}+3ac}{3} $
である。
2次関数が2次の係数の$a$ (放物線の開き具合)だけで決まるのと異なって、3次関数には $a,B$ という2つのパラメータが必要なのである。
   


【2次項のない3次方程式】
もし2つのパラメータをもつ3次方程式(2)が解ければ、すべての3次方程式は解けることが分かった。実際に解いてみよう。
(2)を変形して
   $ax^{3} + Bx -y =0 $
さらに両辺を$a$で割って
   $x^{3} +\frac{B}{a}x -\frac{y}{a} =0$
とした後、
   $ p=\frac{B}{a}, q= -\frac{y}{a} $
という置き換えを行なって
   $X^{3} + p X +q = 0 $ …… (3)
として、この3次方程式を解こう。

因数分解に使えそうな公式といえば、
   $ X^{3} \pm Y^{3} = (X \pm Y)(X^{2} \mp XY + Y^{2}) $
以外では、
   $ X^{3}+Y^{3}+Z^{3}- 3XYZ = (X+Y+Z) (X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-XY-YZ-ZX) $
ぐらいしかない。これは、オイラーが高校生のときに発見したとかいわれる公式である。
この公式の右辺の第2( )内を、さらに因数分解すると、
   $ X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-XY-YZ-ZX = X^{2}-(Y+Z)X+(Y^{2}+Z^{2}-YZ) $
   $ = \left\{ X-\frac{(Y+Z)+\sqrt{-3(Y-Z)^{2}}}{2} \right\} \left\{ X-\frac{(Y+Z)-\sqrt{-3(Y-Z)^{2}}}{2} \right\} $
   $ = \left\{ X- \left(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}Y+\frac{1-\sqrt{-3}}{2}Z \right) \right\} \left\{ X- \left(\frac{1-\sqrt{-3}}{2}Y+\frac{1+\sqrt{-3}}{2}Z \right) \right\} $
   $ = (X+\omega^{2}Y +\omega Z)(X+\omega Y +\omega^{2}Z) $
となる。よって、
   $ X^{3}+Y^{3}+Z^{3}- 3XYZ = 0 $
を$X$について解くと、
   $X = \left\{\begin{array}{l}-Y-Z ,\\-\omega^{2}Y -\omega Z , \\-\omega Y - \omega^{2}Z \end{array}\right.$
の3根を得る。

(3)に、この公式を適用するには、
   $\left\{\begin{array}{rcl}p & = & -3YZ \\q & = & Y^{3}+Z^{3}\end{array}\right.$
とおけばよい。第1式から
   $YZ = \frac{p}{-3} $ …… (4)
だが、両辺を3乗すれば
   $ Y^{3}Z^{3} = \frac{p^{3}}{-27} $
だから、$Y^{3},Z^{3}$は2次方程式:
   $ t^{2} -q t + \frac{p^{3}}{-27} =0 $
を満たす2根である。

よって、
   $ Y^{3},Z^{3} = \frac{1}{2}\left(q \pm \sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}} \right) $
より、
   $ Y , Z $
   $ = \sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(q \pm \sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}} \right) }, $
   $ = \omega \sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(q \pm \sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}} \right) }, $
   $ = \omega^{2} \sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(q \pm \sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}} \right) } .$

ところが、$Y,Z$ は(4)を満たさねばならぬので、その組合せは次の3組に限定される。
   $ \left\{\begin{array}{lll}Y_{1} & = &\sqrt[3]{\frac{1}{2}(q+\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}} ) } \\Z_{1} & = & \sqrt[3]{\frac{1}{2}(q-\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}} ) },\end{array}\right. $
   $ \left\{\begin{array}{lll}Y_{2} & = & \omega \sqrt[3]{\frac{1}{2}(q+\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}} ) }\\Z_{2} & = &\omega^{2} \sqrt[3]{\frac{1}{2}(q-\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}} ) }\end{array}\right.$
   $ \left\{\begin{array}{lll}Y_{3} & = &\omega^{2} \sqrt[3]{\frac{1}{2}(q+\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}} ) }\\Z_{3} & = & \omega \sqrt[3]{\frac{1}{2}(q-\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}} ) }.\end{array}\right. $

こうして、$X$ が求まった:
   $ X = \left\{ \begin{array}{rr}-Y_{1} & -Z_{1} \\- \omega Y_{1} & - \omega^{2} Z_{1} \\- \omega^{2} Y_{1} & - \omega Z_{1}\end{array}\right.$
である。


【3次方程式の解の公式】
では、いよいよ一般の3次方程式を解いてみよう。
3次関数
   $ y = ax^{3} +bx^{2} +cx+d $
を標準形に直すと、
   $ Y = aX^{3} +B X $
である。ただし
   $ \left\{\begin{array}{lcl}X & = & x+\frac{b}{3a} \\Y & = & y - \frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{2}}\end{array}\right. $
である。

問題は、$y=0$ のときの$x$ の値を求めることである。標準方程式
   $ X^{3} +pX +q =0 $
の係数は
   $ p= \frac{B}{a} = \frac{-b^{2}+3ac}{3a}, $
   $ q= -\frac{Y}{a} = \frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}} $
で決定される。

これを解くと、前節で見たように3根を得る。したがって、
   $ x = \left\{\begin{array}{rrr}-\frac{b}{3a} & -Y_{1} & - Z_{1} \\-\frac{b}{3a} & -\omega Y_{1} & -\omega^{2} Z_{1} \\-\frac{b}{3a} & -\omega^{2}Y_{1} & - \omega Z_{1}\end{array}\right.$
と、解の公式が得られた。


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