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√2が無理数であること

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【問題】$\sqrt{2}$ は有理数でないことを証明せよ。---

【証明】有理数であったとし、$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ とおく。分母を払って2乗すると
   $2 n^2=m^2$
ここで両辺を素因数分解すると、左辺には奇数個の素数があるのに右辺は偶数個である(同じ素数はダブってカウントする)。これは矛盾だ。■

この証明を変形すれば2乗数でない整数$n$について、$\sqrt{n}$ が無理数であることが証明できる。

【問題】2乗数でない整数$n$について、$\sqrt{n}$ は無理数であることを証明せよ。---

【証明】$n$を素因数分解し、同じ素数が偶数個あったら、√ の追い出してやる。そうすると
$\sqrt{n}=p^{2e}q^{2f}r^{2g} \cdots \sqrt{p q r \cdots}$
の形になる。ここで$\sqrt{p q r \cdots}$が無理数であることを言えばよい。
有理数であったとし、$\sqrt{p q r \cdots}=\frac{m}{n}$ とおく。分母を払って2乗すると
   $p q r n^2=m^2$
ここで両辺を素因数分解すると、左辺には$p$が奇数個あるのに、右辺には偶数個ある。これは矛盾だ。■

【問題】 正の整数$n$が平方数(整数の2乗)でないとき、$\sqrt{n}$は無理数であることを証明せよ。---

【証明】 平方数とは、$0,1,4,9,16,25,36,\cdots$である。$n$を平方数でない自然数とする。
もし$\sqrt{n}$が有理数であったとしよう。$n$は平方数でないのだから、$\sqrt{n}$は整数にはならない。それを自然数$a,b(b\geq2)$を使って
   $\sqrt{n}=\frac{a}{b}$
と、既約分数の形に表す。2乗すれば
   $n=\frac{a^2}{b^2}$
と整数になるのだから、分母の$b^2(\geq4)$は約分されて消えてしまう訳だが、既約分数と仮定したから$a^2$と約分はできない。
よって、$\sqrt{n}$は無理数である。■


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