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v-tグラフからs-tの式を求める

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直線上を運動する物体があり、$t$[秒]後の位置を$s[m]$とする。

(1)正比例
はじめ原点$O$にいて、一定の速度$v_{0}[m/\mbox{秒}]$で運動する。
   
$v-t$グラフにおける赤い長方形の面積が移動距離$s[m]$を表わす。したがって
   $s=v_{0}t$
これが正比例関数である。
世の中では「学業成績は勉強時間に比例する」などという使い方をするが、それは『正比例』でなく『単調増加』の間違いです。今の場合は正比例であるので、速度がマイナスなら時間の経過に伴い$s$の値は減少する。

(2)1次関数
はじめ$c[m]$の地点にいて、一定の速度$v_{0}[m/\mbox{秒}]$で運動する。(等速直線運動)
   
はじめの$c$(水色の面積)に赤い長方形の面積を足したものが移動距離$s[m]$を表わす。したがって
   $s=c+v_{0}t$
これは1次例関数である。

(3)2乗に比例
速度$v$が時間$t$に比例して変化する場合。その比例定数を$\alpha [m/\mbox{秒}^{2}]$とする。これを加速度と言う。
初期位置が原点で、初速度が$0[m/\mbox{秒}]$ならば、緑色の直角三角形の面積を計算する。(三角形であっても、縦に千切りにスライスして、幅の薄い長方形の集まりと考えればよい。)
   
   $s=\frac{1}{2} \alpha t^{2}$
これは2乗に比例する関数である。

(4)2次関数
初期位置が$c[m]$で、初速$v_{0}[m/\mbox{秒}]$で、加速度$\alpha [m/\mbox{秒}^{2}]$で運動する場合。
   
水色、赤、緑の面積を合計して
   $s=c+v_{0} t+ \frac{1}{2} \alpha t^{2}$
これは一般の2次関数である。

【練習問題】 15[m]の高さのビルの屋上から、真上に初速20[m/秒]でボールを投げる。投げてから$t$[秒]後のボールの高さを$s[m]$として、$s$を$t$の式で表わせ。ただし重力加速度は真下に向かって、$10[m/\mbox{秒}^{2}]$とする。
(解) $c=15,v_{0}=20,\alpha=-10$だから
   $s=15+20 t-5 t^{2}$■


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