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変格積分の一例
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【問】 $\int_{0}^{\pi}\frac{\sin nx}{\sin x}dx$ ($n$ は自然数) を求めよ。---

【解】 $n$ についての漸化式を作る。その際、隣同士の項でなく、1個おきに隣り合う項の関係を調べるのがキー・ポイントだ。
   $S(n)=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin nx}{\sin x}dx$
とおいて、
   $S(n+2)=S(n)$
を示す。
   $S(n+2)-S(n)=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin (n+2)x}{\sin x}dx-\int_{0}^{\pi}\frac{\sin nx}{\sin x}dx$
   $=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin (n+2)x -\sin nx}{\sin x}dx$
三角関数の和差を積に直す公式を適用して
   $=\int_{0}^{\pi}\frac{2 \cos (n+1)x \sin x}{\sin x}dx=\int_{0}^{\pi}2 \cos (n+1)x dx$
   $=2 [\frac{1}{n+1} \sin (n+1)x]_{0}^{\pi}=\frac{2}{n+1}(\sin (n+1)\pi-\sin 0)=0$
ただし $n \neq -1$ である。
したがって、$n$ が奇数なら
   $S(n)=S(n-2)=\cdots =S(3)=S(1)=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{\sin x}dx=\pi$
$n$ が偶数なら
   $S(n)=S(n-2)=\cdots =S(2)=S(0)=\int_{0}^{\pi}\frac{0}{\sin x}dx=0$
$n$ は降下していきながら、$n=-1$ の手前の $n=0$ まで下げられるから、上の等式が成り立つ。

【答】 $n$ が奇数なら $\pi$, $n$ が偶数なら $0$ ($n$ は自然数ではなく、$n \geq 0$ なる整数で成り立つ。)

【蛇足】 所期の積分の被積分関数の $\frac{\sin nx}{\sin x}$ は $x=0,\pi$ で分母がゼロになり、区間 $[0,\pi]$ では連続関数ではないのでふつうの意味では積分できない。しかし
   $\lim_{\delta \rightarrow +0} \int_{0+\delta}^{\pi-\delta} f(x)dx$
の意味に解釈すれば、積分可能となる。この意味での積分を「変格積分」または「広義積分」と言う。


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