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カバリエリの原理はトコロテン
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放物線の下の面積は積分で求まって、
   $S=\int_{0}^{h} ax^{2} dx=\frac{1}{3}ah^{3}$
   
となる。要するに、底辺×高さ÷3である。同じ底辺、同じ高さの長方形の面積の1/3であると言ってもよい。
   
この図形をトコロテンのようにズラしつつ平行移動しても面積は変わらない。(カバリエリの原理と言う。)

【問題1】 放物線$y=ax^{2}+bx+c$と直線が異なる2点で交わっていて、その交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\beta,\alpha<\beta$とする。2つのグラフで囲まれた図形の面積$S$を求めよ。---
   

【解】 影をつけた部分の面積は平行四辺形の2/3である。平行四辺形の底辺は、
   $|a|(\frac{\beta-\alpha}{2})^{2}$
である(カバリエリの原理!)。また、平行四辺形の高さは、
   $\beta-\alpha$
であるから、
   $S=\frac{2}{3}\cdot|a|(\frac{\beta-\alpha}{2})^{2}\cdot(\beta-\alpha)=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^{3}$■

【問題2】 2つの曲線$y=2x^{2}-5,y=-x^{2}+3x+1$ で囲まれた図形の面積$S$を求めよ。---
   

【解】 $\alpha,\beta$を求めると
   $2x^{2}-5=-x^{2}+3x+1 \Rightarrow 3x^{2}-3x-6=0 \Rightarrow (x+1)(x-2)=0$
より
   $\alpha=-1,\beta=2$
図形$S$を2交点を結ぶ直線で2つの弓形図形に分割して、その2つの弓形を足せばよい。
   $S=\frac{|2|}{6}(\beta-\alpha)^{3}+\frac{|-1|}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
   $=\frac{2+1}{6}(2-(-1))^{3}=\frac{27}{2}$■


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