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sinの微分をめぐる循環論法
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§1. 教科書に現れる循環論法

$(\sin x)'=\cos x$を示すには
   $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ ……(1)
を言えばよい。なぜならこれを使えば
   $(\sin x)' = \lim \frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}$
   $=\lim \frac{\sin x \cos \Delta x+ \cos x \sin \Delta x - \sin x}{\Delta x}$
   $=\lim \{ \sin x \frac{\cos^{2} \Delta x -1}{\Delta x(\cos \Delta x+1)} +\cos x \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \}$
   $=\cos x$
となるからである。

さて、(1)の証明を、ある教科書では次のように書いている。
   
問題は不等式の真ん中だ。なぜ扇形の面積がこのようになるのか。この教科書では脇に次の図を載せている。
   
では、円の面積はどうやって求めたのだったか。

(1)が意味するのは、$x$が0に近ければ$\sin x=x$ということ、すなわち$\sin dx = dx$である。中心角が小さいな扇形は頂角が小さな二等辺三角形で近似できるから、円の面積$S$は
   $S=\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi}\sin dx =\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} dx=\pi$
であったのだ。してみると、この教科書の記述は循環論法である。(1)が成り立つのは、円の面積が$\pi r^{2}$だからであり、円の面積がそのようになるのは(1)が成り立つから、としているからだ。

上に述べたことをふつうの言い方にしてみよう。円の面積を計算すると
   $S=4 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} dx =4 \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2} \theta d\theta$
   $=2 \int_{0}^{\pi/2} (1+\cos 2\theta)d\theta = 2[\theta+\sin 2\theta/2]_{0}^{\pi/2} =\pi$
となる。ここで、$(\sin x)'=\cos x$という微分の公式を使っているが、この公式は(1)から導かれるのであるから、こう考えると循環論法になっていることが分かる。

§2. 循環論法をどう見るか

この循環論法をめぐって、教師の対応は次のように2つに分かれる。

このようなことは数学教育において、しばしば起こる。有名な例は底角定理の証明だ。
   
「二等辺三角形の底角は等しい」とい命題は、ユークリッド原論第1巻第5条([1]参照)に出てくるが、ユークリッドは図のように補助線として、等しい線分AZとAHを設けて証明している。これを角Aの二等分線を引いて証明してしまうと循環論法となる。角の二等分線が作図可能であることを証明するのにこの底角定理が根拠とされるからである。
もし中学生が二等分線で底角定理を証明(?)したとき、教師は「すばらしい。よく思いついたね」と褒めるべきか、それは間違いだよと諭すべきなのか、という問題と上の問題は同じだ。

ちなみに上の底角定理の循環論法による証明がまずいと見抜けるかどうかが、数学を理解できるか否かの分水嶺であり、古来「ロバの橋」と呼ばれてきて、この難関を渡りきれるかが幾何学を理解できたかどうかの試金石であったのだ。詳しくは文献[2] pp.66-72 参照。

§∞. 参考文献

[1] 中村・寺阪・伊東・池田 訳・解説 「ユークリッド原論」 共立出版、1971
   

[2] 齋藤・秋田・小原編著 「深い学びを支える数学教科書の数学的背景」 東洋館出版社、2017
   


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