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重複順列・重複組合せ

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(例題1) 袋の中に、オレンジ、グレープ、アップルの缶ジュースが各1本入っている。これを5人に配る。当然ジュースをもらえない人が出るが、1人に2本以上あげることはやめておく。さて、何通りの配り方があるか。---

(解1-1) 人間の立場に立って考えてみよう。5人に
   オレンジ、グレープ、アップル、なし(梨ではなくナシ=nothing)、なし
を配る同じものを含む順列」だから、$ \frac{5!}{1!1!1!2!} = 60 \mbox{■} $

(解1-2) 次に、ジュースの身になって考える。オレンジはA,B,C,D,Eの5人の中から1人を選ぶ。グレープは残る4人の中から1人を選ぶ。アップルは3人から選ぶ。
ということで、窓3つのスロットマシンを想像する。それぞれの窓には、5つの絵が重複なく(したがって、ラッキー7は出ない。)出る。
こう考えると、順列で、答は$ _{5}P_{3}= 5 \times 4 \times 3 = 60 \mbox{■} $

(例題2) 5人にオレンジ、グレープ、アップルの3本の缶ジュースを配る。1人に2本以上あげることを可とした場合、何通りの配り方があるか。---

(解2-1) やはり、ジュースの身になって、5人のうちの誰にもらってもらおうかと考えて、重複順列で$ _{5}\Pi_{3}= 5 \times 5 \times 5 = 5^{3} = 125 $
こちらの方は、重複を認めるのでスロットマシンそのものになる。■

(解2-2) 人間の立場で解いたらどうだろう。
3本を独り占めにするのが、5通り。
2本を1人が取って、残りの1本を他の者が取るケースは、$ _{5}P_{2} \times _{3}C_{2} = 5 \times 4 \times 3 = 60 $
なるべく平等にだぶらないように配ると、さきの例題で求めた通り、60通り。
よって、求める答は$ 5 + 60 +60 =125 \mbox{通り■} $

この例題において、3本ともオレンジ・ジュースだと重複組合せの問題になるのだが、後に述べる「まんじゅうと仕切り板」を使うと、
$ _{5+3-1}C_{3} = 35 $
と、組合せで解答可能である。

上の例題で述べたように、順列・組合せの問題を解くにあたって、どっちの身になって考えるかで問題の難易が大きく変わることがある。
たちの悪いことに、一応どちらの方法でも答が求まるのである。片方のやり方では解決不能なら、さっさと諦めて他の方法に切り換えればよいが、そうではないから片方に執着してしまう。

ジュースの分配問題の類題として、例えば
   「3匹の子豚を5軒の家に入れる」
という問題がある。これは、「家に豚を入れる」$ \frac{5!}{1!1!1!2!} =60$と問題の通りに素直に考えないで、「豚たちに家の番号を記した番号札を配る」$5 \times 4 \times 3 =60$と考えた方が簡単である。

(例題3) サイコロを2個同時に投げる。目の出方は何通りあるか。---

(解3-1) 2個のサイコロを区別すれば、$ _{6}\Pi_{2} = 6^{2} = 6 \times 6 = 36 \mbox{通り} \mbox{■} $

(解3-2) サイコロを区別しなければ、例えば(2,3)と(3,2)は同一視されることになる。重複組合せなので$ _{6}H_{2} = _{6+2-1}C_{2} = _{7}C_{2} = 21 \mbox{■} $

2つの解答は異なるがどちらも正解である。(解釈の仕方によるから。)教科書では、「大小2個のサイコロ」と言って区別する問題が多い。
さて、上のサイコロの問題には次の別解がある。

(解3-3) ゾロ目が6通り。ゾロ目でないのが、$ 6 \times 5 \div 2 = 15 $で、両者合わせて$ 6 + 15 = 21 \mbox{通り■} $

七面倒くさいやり方のようであるが、この解答には副産物がある。
サイコロは6面だが、一般化して$n$面と考える。大小2個の$n$面サイコロを同時に振ったときの目の出方をゾロ目とそうでない場合に分けて考えると
   $n^{2} = n + n(n-1)$
となる。これを和分すると
   $ \sum n^{2} $
が簡単に求まる。なぜなら、左辺より右辺の$ \sum n, \sum n(n-1) $の方が和が求めやすいからだ。


【重複組合せ】
$n$種類のものから重複を許して$r$個取ってくる重複組合せが
   $ _{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r} $
となることを教える方法としては、次の2つの方法が有名なので、ここにメモしておく。

【 まんじゅうと仕切り板を使う】
仕切り板が$n-1$枚あると考える。これで種類を区別する訳だ。まんじゅうは全部で$r$個ある。求める場合の数は、$n+r-1$個の置き場所のうち$r$箇所にまんじゅうを置く方法と同じだから、上の等式を得る。


【最短距離の道を行く方法に置き換える】
ひとつ上の横棒に移ることが種類を変えることに相当する。


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