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【第2-1節】 二次曲線(書きかけ)

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【第01講】 楕円
【第02講】 双曲線
【第03講】 放物線

【第01講】 楕円

円をある方向に縮める(引き延ばす)と楕円ができる。

【問題】 円 $x^2+y^2=a^2$ を$y$軸方向に $\frac{b}{a}$ 倍に縮小(拡大)した図形の方程式を求めよ。---

【解】 変形前のグラフ上の点の座標を $(x,y)$, 変形後のそれを $(X,Y)$ とすれば

$X=x,Y=\frac{b}{a}y$
すなわち
$x=X,y=\frac{a}{b}Y$

このように旧点の座標と新点のそれとの役割を交換する。あとの式を原方程式に代入して

$X^2+(\frac{a}{b}Y)^2=a^2$,
$\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$

最後に文字を小文字に変えて、$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ …(答)

上の問題で作ったグラフが楕円である。円において直径に相当するものが長径短径である。$2a,2b$ のうち大きい方が長径で、小さい方が短径である。1方向に(高さ)だけ $\frac{b}{a}$ 倍の拡大・縮小したから、面積は円のそれの $\frac{b}{a}$ 倍、すなわち $S=\pi a b$ になる。

下図は楕円の形をした天井の下でひそひそ話をする2人だが、小声でもA氏が発した声が天井に反射され、それがB氏の耳に集中して、ハッキリと声が聞こえる、というものである。

この2点 A, B のことを楕円の焦点と言う。焦点の性質を調べよう。

【問題】 2点 $F(c,0),F'(-c,0)$ からの距離の和が一定( $=2a$) である点の軌跡を求めよ。ただし $a>c$ とする。---

【解】 問題の点を $P(x,y)$ とする。

$PF+PF'=2a$ より

$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$,
${(x+c)^2+y^2}=(2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2})^2$,
${(x+c)^2+y^2}=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+{(x-c)^2+y^2}$,
$4cx-4a^2=-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$,
$(a-\frac{c}{a}x)^2={(x-c)^2+y^2}$,
$\frac{a^2-c^2}{a^2}x^2+y^2=a^2-c^2$

さいごに $\sqrt{a^2-c^2}=b$ とおけば

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ …(答)

上の2点 $F,F'$ が楕円の焦点(focus) である。楕円の方程式から座標軸との交点が $(\pm a,0),(0,\pm b)$ であることは明らか。忘れやすいのが2点からの距離の和と焦点の座標だが、次のようにやればすぐに出てくる。
2点からの距離の和は、$|a-(-c)|+|a-c|=2a$ で、長径に等しい。次に、$2\sqrt{c^2+b^2}=2a$ から $c=\sqrt{a^2-b^2}$ だから、焦点は $(\pm \sqrt{a^2-b^2},0)$ だ。

次に楕円の接線を求めたいのだが、その前に円の接線を復習しておこう。

【公式】 円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_{1},y_{1})$ における接線の方程式は

$x_{1} x+y_{1} y=r^2$

【覚え方】 円の式を $xx+yy=r^2$ と書き直し、連続する2つの文字の間に $1,1$を小さく挿入すればよい。だから犬じゃないけど「ワンワン」と叫べばよい。

【証明】 接点と円の中心を結ぶ半径と、接線は直交する。だから、接線の法線ベクトルは $(x_{1},y_{1})$ だから、接線は

$x_{1} (x-x_{1})+y_{1}( y-y_{1})=0$,
$x_{1} x+y_{1} y=x_{1}^2+y_{1}^2$,
接点は円上にあるから
$x_{1} x+y_{1} y=r^2$

【公式】 楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_{1},y_{1})$ における接線の方程式は

$\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$

【覚え方】 $xx,yy$ と書き直して、「ワンワン」。

【証明】 楕円は円を縦方向に縮めたものだったから、逆数の $\frac{a}{b}$ 倍に引き戻して円 $x^2+y^2=a^2$ に戻す。楕円の接点は、円上の点

$(x_{1},\frac{a}{b}y_{1})$

に移る。ここでの円の接線は

$x_{1}x+\frac{a}{b}y_{1}y=a^2$

である。これを縦方向に $\frac{b}{a}$ 倍に縮めて元に戻せばよい。そのため $X=x,Y=\frac{b}{a}y$ を代入して

$x_{1}X+(\frac{a}{b})^2y_{1}Y=a^2$,
$\frac{x_{1}X}{a^2}+\frac{y_{1}Y}{b^2}=1$
あとは文字を小文字に変えるだけだ。■

さきに楕円の天井の話をしたが、それを証明しよう。

【問題】 楕円において、一方の焦点から発した光線は楕円に反射して他方の焦点を通過する。これを証明せよ。---

【証明】 焦点 $f$ を発した光線が楕円上の点 $(x_{1},y_{1})$ で反射するとする。入射角=反射角だが、〇射角というのは法線となす角、すなわち $\angle FPN,\angle F'PN$ のことである。さらに三角形の1つの角の二等分線は対辺を2辺の比に分けるから、もし反射光が他方の焦点 $F'$ を通過するならば $FN:NF'=FP:PF'$ である。この定理は逆も成立するから

$FN:NF'=FP:PF'$

が成り立つことが言えれば、$\angle FPN=\angle F'PN$ となり、反射光が焦点を通ることになる。ただし、$N$ は法線と $x$ 軸との交点である。

接線の法線ベクトルは $(\frac{x_{1}}{a^2}, \frac{y_{1}}{b^2})$ だから、これに直交する法線 $PN$ の方程式は

$\frac{y_{1}}{b^2}(x-x_{1})-\frac{x_{1}}{a^2}(y-y_{1})=0$

となり、$N$ の座標は

$N=(x_{1}-\frac{b^2 x_{1}}{a^2 },0)=(\frac{(a^2 -b^2) x_{1}}{a^2 },0)=(\frac{c^2}{a^2}x_{1},0)$

となる。ここで $a^2=b^2+c^2$ を使った。だったから比を求めると、

$FP:PF'=\sqrt{(x_{1}-c)^2+y_{1}^2}:\sqrt{(x_{1}+c)^2+y_{1}^2}$
$=\sqrt{(x_{1}-c)^2+b^2(1-\frac{x_{1}^2}{a^2})}:\sqrt{(x_{1}+c)^2+b^2(1-\frac{x_{1}^2}{a^2})}$
$=\sqrt{(a^2-b^2)x_{1}^2-2a^2cx_{1}+a^2(b^2+c^2)}:\sqrt{(a^2-b^2)x_{1}^2+2a^2cx_{1}+a^2(b^2+c^2)}$,
$=\sqrt{c^2 x_{1}^2-2a^2 cx_{1}+a^4}:\sqrt{c^2 x_{1}^2+2a^2 cx_{1}+a^4}$
$=|cx_{1}-a^2|:|cx_{1}+a^2|$

一方の比は

$FN:NF'=(c-\frac{c^2}{a^2} x_{1}) :(\frac{c^2}{a^2} x_{1}+c)$
$=(a^2-cx_{1}) :( cx_{1}+a^2)$

これで、$FN:NF'=FP:PF'$ が言えた。■

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【第02講】 双曲線

楕円は距離の和が一定だったが、今度は差が一定の曲線を求めてみよう。

【問題】 2点 $F(c,0),F'(-c,0)$ からの距離の差が一定( $=2a$) である点の軌跡を求めよ。ただし $a<c$ とする。---

【解】 ただし書きの部分は、三角形の2辺の差は残りの辺より小さくなければならないことからきている。問題の点を $P(x,y)$ とする。

$PF-PF'=\pm 2a$ より

$\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a$,
${(x+c)^2+y^2}=(\sqrt{(x-c)^2+y^2}\pm 2a)^2$,
${(x+c)^2+y^2}={(x-c)^2+y^2} \pm 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+4a^2$,
$4cx-4a^2=\pm 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$,
$(a-\frac{c}{a}x)^2={(x-c)^2+y^2}$,
$\frac{c^2-a^2}{a^2}x^2-y^2=c^2-a^2$

最後から2番目の式は楕円のときと全く同じだ。さいごに $\sqrt{c^2-a^2}=b$ とおけば

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ …(答)

2点 $F,F'$ のことを楕円のときと同様に焦点と呼ぶ。双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ を簡単に描く方法は次の通りだ。

  1. 横 $a$, 縦 $b$ の長方形を描く。
  2. この長方形の対角線(漸近線)を描く。
  3. 対角線の長さ $c=\sqrt{a^2+b^2}$ を$x$軸上に取る。これが焦点 $F$ である。
  4. 漸近線に近づくように双曲線を描く。第1象限の出来上がり。
  5. 対称なので、第1象限のグラフを他の象限に写す。
    パラパラまんが

双曲線の接線は、楕円のときのワンワン公式からの類推で想像できる。

【問題】 双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_{1},y_{1})$ における接線の方程式は $\frac{x_{1}x}{a^2}-\frac{y_{1}y}{b^2}=1$ であることを証明せよ。---

【証明】 2式を連立し、重解を持つことを示せばよい。$y=\frac{b^2}{y_{1}}(\frac{x_{1}x}{a^2}-1)$ を他式に代入して

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{b^2}{y_{1}^2}(\frac{x_{1}x}{a^2}-1)^2=1$,
両辺を $a^4y_{1}^2$ 倍して
$(a^2y_{1}^2-b^2x_{1}^2)x^2+2a^2b^2x_{1}x-a^4(b^2+y_{1}^2)=0$
判別式を $D$ とすれば
$D/4=a^4b^4x_{1}^2+a^4(a^2y_{1}^2-b^2x_{1}^2)(b^2+y_{1}^2)$
$=a^4\{ a^2b^2y_{1}^2+a^2y_{1}^4 -b^2x_{1}^2y_{1}^2\}$
ここに $x_{1}^2=a^2(1+\frac{y_{1}^2 }{b^2})$ を代入して
$=a^4 \{ a^2b^2y_{1}^2+a^2y_{1}^4 -a^2(b^2+y_{1}^2)y_{1}^2 \}=0$

連立方程式が重解を持つことが分かった。■

さきの描き方のところで漸近線だと言ったが、それを証明しておこう。

【問題】 双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ の 漸近線は $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ であることを証明せよ。---

【証明】 因数分解すれば $(\frac{x}{a}-\frac{y}{b})(\frac{x}{a}+\frac{y}{b})=0$ だから、漸近線の方程式を書き直すと

$y=\pm \frac{b}{a}x$

になる。双曲線の方を書き直すと

$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$

だが、グラフの対称性から第1象限だけで漸近することを示せば十分である。2つのグラフの $y$座標の差を調べると

$y_{1}-y_{2}= \frac{b}{a}x -\frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$
$=\frac{b}{a}(x-\sqrt{x^2-a^2})$
$=\frac{b}{a} \times \frac{a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}}$
$=\frac{b}{a} \times\frac{a^2/x}{1+\sqrt{1-a^2/x^2}}$
$\rightarrow 0 (x \rightarrow \infty$のとき) ■

【問題】 双曲線において、一方の焦点から発して双曲線に反射した光線はあたかも他方の焦点から発した光線のように見える。これを証明せよ。---

【証明】 楕円のときは三角形の内角の二等分線だったが、今度は外角の二等分線である。

法線と $x$軸との交点を $N$ とするとき、$FN:NF'=FP:PF'$ を示せばよい。双曲線上の点 $P(x_{1},y_{1})$ における法線は

$\frac{y_{1}}{b^2}x +\frac{x_{1}}{a^2}y=1$

だから、

$N=(x_{1}+\frac{b^2}{a^2}x_{1},0) =(\frac{c^2}{a^2}x_{1},0)$

となる。ここで $a^2+b^2=c^2$ を使った。比を求めると、

$FP:PF'=\sqrt{(x_{1}-c)^2+y_{1}^2}:\sqrt{(x_{1}+c)^2+y_{1}^2}$
$=\sqrt{(x_{1}-c)^2+b^2(\frac{x_{1}^2}{a^2}-1)}:\sqrt{(x_{1}+c)^2+b^2(\frac{x_{1}^2}{a^2}-1)}$
$=\sqrt{(a^2+b^2)x_{1}^2-2a^2cx_{1}+a^2(c^2-b^2)}:\sqrt{(a^2+b^2)x_{1}^2+2a^2cx_{1}+a^2(c^2-b^2)}$,
$=\sqrt{c^2 x_{1}^2-2a^2 cx_{1}+a^4}:\sqrt{c^2 x_{1}^2+2a^2 cx_{1}+a^4}$
$=|cx_{1}-a^2|:|cx_{1}+a^2|$

で、一方の比は

$FN:NF'=|\frac{c^2}{a^2}x_{1}-c| : |\frac{c^2}{a^2}x_{1}+c| $

だから、$FN:NF'=FP:PF'$ が言えた。■

反比例 $xy=k$ のグラフは直角双曲線と呼ばれる。でも式の形がここで取り扱った双曲線とは違う。式変形で標準的な形 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ に持っていけるかを試してみよう。

【問題】 直角双曲線 $xy=1$ を原点の回りに $-\frac{\pi}{4}$ 回転してしてできる曲線の方程式を求めよ。---

【解】 回転前の旧点を $(x,y)$ (ただし原点からの距離 $r$, 偏角 $\theta$), 回転後の新点を $(X,Y)$ (ただし原点からの距離 $R$, 偏角 $\Theta$) とする。旧点を $-\frac{\pi}{4}$ 回転するのだが、見方を変えれば新点を $\frac{\pi}{4}$ 回転して旧点になると言ってもよい。


$X=R \cos \Theta, Y=R \sin \Theta$,
$x=r \cos \theta=R \cos(\Theta+\frac{\pi}{4})$,
$y=r \sin \theta=R \sin(\Theta+\frac{\pi}{4})$

$xy=1$ に代入すると

$R \cos(\Theta+\frac{\pi}{4}) \cdot R \sin(\Theta+\frac{\pi}{4}) =1$,
$\frac{R}{\sqrt{2}}(\cos \Theta-\sin \Theta) \cdot \frac{R}{\sqrt{2}}(\sin \Theta+\cos \Theta)=1$,
$\frac{R^2}{2}(\cos^2 \Theta-\sin^2 \Theta)=1$,
$\frac{R^2 \cos^2 \Theta}{2}-\frac{R^2 \sin^2 \Theta}{2}=1$,
$\frac{X^2}{2}-\frac{Y^2}{2}=1$

さいごに、文字を小文字に変えて、$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ …(答)

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【第03講】 放物線

これまでのことを焦点と光線の見地から眺めてみよう。

  1. 楕円では、一方の焦点を発した光線は反射してもう一方の焦点を通過する。光線は$x$軸を発して $x$軸に戻る。
  2. 双曲線では、$x$軸上の焦点を発した光線はけっして $x$軸に戻ってくることはない。
  3. この中間の曲線として、焦点 $F$ からの反射光が $x$軸に平行になるものがありそうだ。それが放物線である。

もし平行光線になる曲線があるとしたら、それからどんなことが導き出せるだろうか。

曲線上の点 $P$ における 接線および法線と $x$軸との交点をそれぞれ $T, N$ とする。入射角=反射角と平行線の錯角から、$\triangle FPN$ は二等辺三角形になる。$PN$ の垂直二等分線は、$F$ を通過し、接線 $PT$ に平行であり、$F$ は $TN$ の中点である。もし、任意の放物線が以上の性質を満たすと仮定するなら、焦点はどこに存在しなければならないだろうか。
放物線の例として、$y=ax^2 (a>0)$ を取り上げよう。

$P(x_{1},y_{1})$ における接線は $y-y_{1}=2ax_{1}(x-x_{1})$, 法線は $y-y_{1}=-\frac{1}{2ax_{1}}(x-x_{1})$ である。これらと $y$軸との交点はそれぞれ

$T=(0,y_{1}-2ax_{1}^2)=(0,-y_{1})$,
$N=(0,y_{1}+\frac{1}{2a})$

ところで $F$ は $TN$ の中点だから

$F=(0,\frac{1}{4a})$

よって、焦点と接点の間の距離 $PF$ は

$PF=NF=FT=(y_{1}+\frac{1}{2a})-\frac{1}{4a}=y_{1}+\frac{1}{4a}$

となり、これは接点の $y$座標に焦点の $y$座標を足したものである。すべての放物線がこの性質を有することを証明するには、逆にこの性質を満足する曲線を求めてみて、それが放物線であればよい。

いままで通り焦点が $x$軸上にあるとしよう。

【問題】 定点 $F(c,0)$ からの距離が、その点の $x$座標に $c$ を加えたものに等しいような点 $P(x,y)$ の軌跡を求めよ。

言い換えれば、$F(c,0)$ との間の距離と $x$軸と直交する直線 $x=-c$ までの距離が等しい点の軌跡である。---

【解】 $\sqrt{(x-c)^2+y^2}=|x+c|$ を変形していく。2乗して

${(x-c)^2+y^2}=(x+c)^2$,
$y^2=4cx$ …(答)

$x,y$ を交換すれば、数学 I で学習した放物線になる。$F(c,0)$ を放物線の焦点と言い、直線 $x=-c$ を放物線の準線と言う。

【問題】 放物線 $y^2=4cx$ 上の点 $(x_{1},y_{1})$ における接線と法線の求め、それらと $x$軸との交点 $T,N$ を求めよ。さらに、焦点を発した光線は反射して $x$軸と平行な光線になることを示せ。---

【解】 $y^2=4cx$ を $x$で微分すれば $2yy'=4c$ だから、

接線: $y-y_{1}=\frac{2c}{y_{1}}(x-x_{1})$
法線: $y-y_{1}=-\frac{y_{1}}{2c}(x-x_{1})$

交点の座標は

$T=(x_{1}-\frac{y_{1}^2}{2c},0)=(x_{1}-2x_{1},0)=(-x_{1},0)$
$N=(x_{1}+2c,0)$

よって、線分の長さは

$TF=c-(-x_{1})=c+x_{1}$,
$FN=(x_{1}+2c)-c=c+x_{1}$

$TF=FN$ で $\triangle FTN$ は直角三角形だから、$F$ が外心になり、$TF=FN=FP$. あとは二等辺三角形の底角が等しいことと入射角=反射角から、錯角が等しくなり、反射光が $x$軸と平行となる。(以前に使った図を逆にたどることになる。)


光の進む方向を逆にすれば、放物線の軸に平行な光線をすべて1点(焦点)に集めることができる。それを利用したのがBSパラボラ・アンテナである。(パラボラが放物線のことで、ちなみに110度とかいうのは人工衛星が浮かんでいる位置の経度のことである。)これを衛星の方向に向けて、衛星からの電波を1点で受信する。
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