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【第2-4節】 独立な試行の確率(書きかけ)

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【第01講】 独立な試行

【第01講】 独立な試行

2つの試行が独立であるとは、結果が無関係だ(影響しない)ということだ。例えば、右手でコインを投げ、左手でサイコロを振るとしよう。コインが表になったら、サイコロは1の目を出すように頑張るということはない。この2つの試行はそれぞれ互いに無関係に結果を出すであろう。ルーレットを2回回すのも独立だろう。1回目は赤の数字だったから、2回目は黒の数字が出やすくなるということもあり得ない。これまた、1回目の試行と2回目の試行は互いに独立なのである。

独立な試行を合わせた試行(複合試行)に関して、積の法則が成り立つ。

【公式】(乗法公理、積の法則) 片方の試行で事象$A$が起こる確率が$P_{1}(A)$で、一方の試行で事象$B$が起こる確率が$P_{2}(B)$であるとする。$A$と$B$が同時に起こる確率は

$P((A,B))=P_{1}(A) \times P_{2}(B)$

【問題】 袋の中に赤玉3個、白玉3個が入っている。ここから玉を2個同時に取り出す。2個とも赤玉である確率を求めよ。---

【解】 「同時」とあるが、1個を取り、その1秒後に2個目を取るとしても同じである。なぜなら同時というのは

   パラパラまんが
ということだが、実は下図のようにやっているかもしれない。
   
なんだ、イカサマかと思うかもしれないが、でもこれを目をつぶってやれば同時に2個取るのと同じと納得できるだろう。そこで左手で赤玉を握る確率が$\frac{3}{6}$で、右手で残りの赤2個、白3個から1個を握るが、どれを握るのも$\frac{1}{5}$の確率である。そうであるのは、これが左手で握る試行と独立だからだ。積の法則により

$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5}=\frac{3 \times 2}{6 \times 5}=\frac{1}{5}$ …(答)

分母は全体の個数で、分子は赤玉の個数だがどちらも$6 \times 5,3 \times 2$とカウント・ダウンして掛けるのである。

【問題】 袋の中に赤玉7個、白玉3個が入っている。ここから玉を4個取り出す。4個同時取りは難しいから1個取っては色を確認して、…を4回繰り返そう。ただし取り出した玉は元に戻さない(非復元抽出と言う)。赤と白が2個ずつ出る確率を求めよ。---

【解】 赤→赤→白→白の順に出る確率は

$\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7}=\frac{(7 \times 6)\times (3 \times 2)}{10 \times 9 \times 8 \times 7}$

で、赤→白→白→赤の順だったら

$\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{6}{7}=\frac{(7 \times 6)\times (3 \times 2)}{10 \times 9 \times 8 \times 7}$

で、確率は等しい。色の順序は関係ない。赤白2個ずつ出るのに何通りの順序があるかと言えば、同じものを含む順列で

$\frac{4!}{2! 2!}$(通り)

だ。そしてこれらの事象は互いに排反だから和の法則が使える。和と言っても等しい値を$\frac{10!}{7! 3!}$個足すのだから掛け算になる。よって求めるべき確率は

$_{4}C_{2} (\frac{7}{10} \times \frac{6}{9}) \times (\frac{3}{8} \times \frac{2}{7} )=\frac{3}{10}$ …(答)


【問題】 袋の中に赤玉7個、白玉3個が入っている。ここから玉を4個取り出す。1個取っては色を確認して、元に戻して…を4回繰り返そう(復元抽出と言う)。赤と白が2回ずつ出る確率を求めよ。---

【解】 前問と似ている。違いは復元するのでカウント・ダウンが起こらない。

$_{4}C_{2} (\frac{7}{10} )^2 \times (\frac{3}{10})^2= \frac{1323}{5000}$ …(答)

【公式】(反復試行の確率) 事象$A$が起こる確率を$P(A)=p$とする。同じ試行を$n$回行うが、どの試行でも$A$が起こる確率は等しく、お互いに独立な試行であるとする。$n$回中$A$がちょうど$r$回起こる確率は

$_{n}C_{r} p^r (1-p)^{n-r}$

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