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【第1-2節】 無限級数の和

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【第01講】 級数とは
【第02講】 無限等比級数の和
【第03講】 無限等比級の問題
【第04講】 その他の級数

【第01講】 級数とは

数列の和を級数と言う。数列 $\{ a_{n} \}$ の和を

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$

のように表す。級数のことを無限級数とも言う。無限大ではなく有限数 $N$までの和だと数学Bで学習した「数列の和」になる。それを有限級数と言う、と書いている本もあるがふつうは級数とは無限級数だけを指す。

例えば、$0.333\cdots=\frac{1}{3}$ は

$0.3, 0.33, 0.333,\cdots \rightarrow \frac{1}{3}$

の意味であるから、初項$0.3$, 公比$\frac{1}{10}$ の無限等比級数の和は$\frac{1}{3}$ であると唱える。いま「級数の和」と言ったが、その意味が何となく分かったであろう。例えば$0.333$は初項から第3項までの和である。それらの行き先(収束する値)が$\frac{1}{3}$なのであるから、級数の和とは第$n$部分和

$\displaystyle \sum_{n=1}^{N} a_{n} =\frac{0.3(1-0.1^N)}{1-0.1}$

の極限(値)のことである。

【定義】 (無限級数の和)

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\lim_{N \rightarrow \infty}\sum_{n=1}^{N} a_{n}$

が有限確定値に収束するとき、これを級数の和と言う。発散するとき($\infty,-\infty$に発散、または振動)は、和$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$は存在しないと言う。

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$が存在しないのに、$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$と表現してしまうのは少し変だが、そういう決まりだから仕方がない。
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【第02講】 無限等比級数の和

さきに出てきた$0.333\cdots$の求め方は数学Ⅰで学習したように、

$10 x=3.333\cdots$
$x=0.333\cdots$
を辺々引いて
$9 x=3$

であるが、$10$倍でなく、$0.1$倍でもできる。すなわち

$ x=0.333\cdots$
$0.1x=0.033\cdots$
を辺々引いて
$0.9 x=0.3$

である。公比倍して辺々引けばよいのだ。これを一般化すると

$S=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$
$rS=ar+ar^2+ar^3+\cdots$
を辺々引いて
$(1-r)S=a$
$S=\frac{a}{1-r}$

となりそうである。しかし厳密には間違いなのである。循環(無限)小数のときは公比が$0.1$だからよかったが、一般には収束するとは断定できない。そこで定義に戻って無限等比級数の和を求めよう。
$r \neq 1$のとき第$n$部分和は

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

だが、分子が収束するのは前節で述べたように$-1 <r \leq 1$のときであり、そのときの極限値は$a(1-0)$か$a(1-1)$である。$r=1$だと分母が0になることに注意してまとめると、…

【公式】 初項$a$, 公比$r$ の無限等比級数の和$S$は
(ア)$a=0$のとき

$S=0+0+0+\cdots=0$

(イ)$a \neq0,r=1$のとき

$S=a+a+a+\cdots$ だから和はない

(ウ)$a\neq 0,=1<r<1$のとき

$S=\frac{a}{1-r}$

(エ)それ以外のとき

和はない

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【第03講】 無限等比級の問題

【問題】 地上$1m$の高さから地面に向かってボールを落とす。
(1) 地面にワンバウンドして$0.5m$の高さまでボールが上がる。2バウンド後は$0.25m$の高さまで、次のバウンドで$0.125m$の高さまで、…というように前の回の半分の高さまでボールが跳ね返る。ボールが上下運動する道のりの総計を求めよ。
(2) 同様のことを時間についてみると、$1m$の高さを$1$秒で落ち、$\frac{1}{\sqrt{2}}$秒で$0.5m$の高さに到達し、$\frac{1}{\sqrt{2}}$秒かけて地面にぶつかり、$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2$秒で$0.25m$の高さに到達し、…を繰り返す。ボールが地面に留まって動かなくなるまでの総時間を求めよ。---

【解】 (1) 道のりの総計は

$1+0.5+0.5+0.25+0.25+\cdots=1+2(0.5+0.25+\cdots)$
$=1+2 \cdot \frac{0.5}{1-0.5}=3(m)$ …(答)

(2) 時間の総計は

$1+2(\frac{1}{\sqrt{2}}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^3+\cdots)$
$=1+2 \cdot \frac{1/\sqrt{2}}{1-1/\sqrt{2}}$
$=1+2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}-1}=3+2\sqrt{2}(秒)$ …(答)

永久にバウンドしているように思ってしまうが、有限時間内に動かなくなってしまう。

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【第04講】 その他の級数

等比級数以外でも和が求まる級数がある。どんな級数があるかを考える1つのヒントは次の定理である。

【定理】 和$S=\sum a_n$が存在する級数の項$a_{n}$は$0$に収束する。すなわち$\lim a_{n}=0$である。---

【証明】 第$n$部分和が収束するのだから

$a_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k} -\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}=S_{n}-S_{n-1}$

の極限をとれば

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}-\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n-1}$
$=S-S=0$■

気をつけたいのは$\lim a_{n}=0$は和を持つための必要条件であって、十分条件ではないということである。逆は成り立たない。等比級数だけ考えていてはそれは分からない。逆が成り立たない例で有名なのが調和級数である。

【問題】 調和級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は発散することを証明せよ。---

【証明】 別の発散する級数より大きいことを言えばよい。(挟み撃ち論法)
   $1 =1$
   $\frac{1}{2} =\frac{1}{2}$
   $\frac{1}{3 } + \frac{1}{4 } > \frac{1}{4 } + \frac{1}{4 }=\frac{1}{2}$
   $\frac{1}{5 } + \frac{1}{6 } + \frac{1}{7 } + \frac{1}{8 }>\frac{1}{8 } + \frac{1}{8 } +\frac{1}{8 } + \frac{1}{8 }=\frac{1}{2}$
   $\frac{1}{9 } + \cdots +\frac{1}{16 } > \frac{1}{16 } + \cdots+ \frac{1}{16 }= \frac{1}{2 }$
   $\frac{1}{17} + \cdots+ \frac{1}{32 } >\frac{1}{2 }$
   $ \frac{1}{33 }+\cdots +\frac{1}{64 } > \frac{1}{2} $
   ……………………………………………………………………
だから
   $1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+ \cdots +\frac{1}{2^{k}} >1+\frac{1}{2}\times k$
よって
   $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty$ ■

このように$\lim \frac{1}{n}=0$であるにもかかわらず、調和級数の和は存在しない。とはいえ、$\lim \a_{n}=0$であれば和を持つ可能性はある訳だ。次の級数は和を持つ。

【問題】 $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+$\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots$の和を求めよ。---

【解】 部分分数分解すると

$a_{n}=\frac{1}{n(n+1)} =\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}$

となるので、第$N$部分和は

$(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) +(\frac{1}{3} -\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{N} -\frac{1}{N+1})$
$=1-\frac{1}{N+1}$

(先頭車両の運転席と、最後尾の車掌室だけ残る。) よって和は

$S=\lim (1-\frac{1}{N+1})=1$ …(答)

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