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【第1-5節】 因数定理(書きかけ)

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【第01講】 因数定理とは
【第02講】 因数定理のコツ
【第03講】 3次方程式を解く
【第04講】 余りの定理の応用問題

【第01講】 因数定理とは

因数定理は因数分解するときに使う定理で、これを使えば (1次式)$\times$($n-1$次式) のように因数分解できる。因数の片方が1次式のときにしか利用できないところが欠点である。
ではどういう定理かと言うと、多項式を

$ax^n+\cdots=(x-\alpha)(\cdots)$

のようにするのだが、この式は左辺を $x-\alpha$ で割ったときの検算の式で、余りが 0 であるということを意味する。

この割り算を組立除法でやってみよう。被除数が3次式:$ax^3+bx^2+cx+d$の場合は

となる。(【第1-2節】の第04講を参照せよ。) 3行目が商と、余りである。

これを見ると、余り(上図で右下の部分)が被除数に$x=\alpha$を代入したものであることは一目瞭然である。これは3次式でなくても成り立つ。実際、$f(x)=(x-\alpha)g(x)+R$ と置いて、$R=f(\alpha)$が導かれる。よって、次の2つの定理を得る。

【公式】 (余りの定理) 多項式$f(x)$を$x-\alpha$で割った余りは、$f(\alpha)$である。---

【公式】 (因数定理) 多項式$f(x)$ において、$f(\alpha)=0$ならば、

$f(x)=(x-\alpha)g(x)$

のように因数分解できる。ただし$g(x)$は $f(x)$ を $x-\alpha$ で割ったときの商である。---

【問題】 $x^4-1$を因数分解せよ。---

【解】 因数定理を2回使う。$f(1)=0$より$x-1$で割って、商の$g(x)$は$g(-1)=0$より$x+1$で割る。

上の組立除法より、$x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$
2次式の因数まで辿り着けば、あとは解の公式で絶対因数分解できる。(答)$(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$
状況により、虚数による因数分解の手前で止めてもよい。
ただこの解き方はセンスがない。なぜなら、4次式を初め、(1次式)$\times$(3次式) に因数分解したが、実係数の場合これはいつでも可能ではない。実係数の範囲では、(2次式)$\times$(2次式) なら常に因数分解可能である。ガウスが発見した。だから、次の別解のように解くのがふつうだ。

【別解】 $x^2$ をビン詰めにして(1かたまりと思って)、$(x^2)^2-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)$ …(答)

【別解2】 数学Cでド・モアブルの定理を学習している場合。$=0$とおけば$x^4=1$だから、1の原始4乗根の1乗、2乗、3乗、4乗が解になる。$2\pi$を$4$で割って、

$x=(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin\frac{\pi}{2})^k, k=1,2,3,4$,
$x=i^k,k=1,2,3,4$,
$x=i,-1,-i,1$

よって、$(x-i)(x+1)(x+i)(x-1)$ …(答)
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【第02講】 因数定理のコツ

因数定理は多項式に$x=\alpha$を代入して、0になれば使える。では$\alpha$としてどんな数が候補となるだろうか。それが分かれば、$\alpha$の探索の時間が節約できる。
● 最高次の項(首項)の係数が1のとき

$x^n+\cdots+c=(x-\alpha)(x^{n-1}+\cdots+c')$
両辺の定数項を比較すると $c=-c' \alpha$
$\alpha$は原式の定数項$c$の約数

● 首項の係数が$a \neq 1$ のとき

$a$で割って、$x^n+\cdots+\frac{c}{a}=(x-\alpha)(x^{n-1}+\cdots+\frac{c'}{c''})$
両辺の定数項を比較すると $-\frac{c'}{c''} \times \alpha=\frac{c}{a}$
$\alpha$は分数で、$\alpha=(c$の約数)/($a$の約数)が候補になりうる。

● 定数項が0のとき

0の約数は無数にある。$0,\pm1,\pm2,\cdots$のいずれも0倍すると0だから、0の約数である。
この場合は$ax^n+\cdots+bx$だから、$x$を括り出せる。
$\alpha=0$とすればよい。

最後の場合だけ、例を示そう。

【問題】 $3x^3-8x^2+5x$を因数分解せよ。---

上図より$(x-0)(x-1)(3x-5)=x(x-1)(3x-5)$ …(答)
こういうときは、因数定理なんて牛刀は使わずに、まずは括り出しをしよう。
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【第03講】 3次方程式を解く

3次式は $(x-\alpha)\times$(2次式) としか因数分解できない。しかも$\alpha$は実数である。実際、3次関数$f(x)$は$x \rightarrow \pm \infty$のとき、$f(x) \rightarrow \pm \infty$または$ \rightarrow \mp \infty$だからである。

【問題】 3次方程式 $8x^3-1=0$ を解け。---

【解】 左辺を$f(x)$とおく。$f(0)=-1,f(1)=7$からしてみると、1つの実数解は$0<x<1$だ。$\alpha=(c$の約数)/($a$の約数)だったから、$\alpha=\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}$を片っ端から試していく。
または、$x^3=\frac{1}{8}$と変形すれば実数解$x=\frac{1}{2}$はすぐ分かる。ここで数学Cが既知なら

$x=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2},\frac{1}{2}\times \frac{-1+\sqrt{3} i }{2},\frac{1}{2}\times \frac{-1-\sqrt{3} i }{2}$ …(答)

組立除法を使えば

だから$(x-\frac{1}{2})(8x^2+4x+2)=0$で、2次式の方からは

$D=16-64=-48,x=\frac{-4 \pm 4\sqrt{3}i}{16}=\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{4}$

もし$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$の公式を使えば、$(2x-1)(4x^2+2x+1)=0$で解が求まる。
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【第04講】 余りの定理の応用問題

【問題】 整式 $f(x)=3x^3+5x^2+ax+b$ を $x+1,x-2$ で割ったときの余りは、それぞれ $-3,12$ である。$f(x)$ を $(x+1)(x-2)$ で割ったときの余りを求めよ。---

【解】 2次式で割った余りは高々 1次式だから、

$f(x)=(x+1)(x-2)q(x)+cx+d$

とおける。余りの定理より、$f(-1)=-3,f(2)=12$ だからこれらを上の等式に代入して、連立方程式

$\left\{ \begin{array}{l} -3+5-a+b=-3 \\ 24+20+2a+b=12 \end{array} \right. $

を解けば、$a=-9,b=-14$ より余りは $-9x-14$ …(答)
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