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【授業】 整数の話題から

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§1. 互除法と不定方程式の特殊解
§2. パスカルの三角形
§3. 合同式における乗除
§4. 循環小数

§1. 互除法と不定方程式の特殊解

【問1-1】下のタイル図を使って、90 と 39 の最大公約数を求めよ。---

【解】

 →  
 (1) 横 90 を縦 39 で測りきったときの余りが 12
 (2) 縦 39 を横の余り 12 で測ったときの余りが 3
 (3) 横 12 を縦の余り 3 だと測りきれる (余り 0 )
と、縦・横で互い違いに割っていけば、 90 × 39 の長方形を敷き詰める最大の正方形の辺の長さとして GCM =3 が得られる。(ユークリッドの互除法)

【答】 $(90,39)=3$

これを手早くやるには下図のように割り算を右から左へ連続して行い、余りが 0 になったところでヤメにすればよい。最左にある数 3 が GCM である。
 → 
この問題の答は $(90,39)=3$ だったが、この GCM= 3 を 90 と 39 の 一次結合 で
$90 x+39 y=3$
と表すことができる。そこでこの不定方程式の特殊解を求めよう。

それには次の方法を使う。(筆者が発明した方法。同じものを既に発明した人がいるかもしれぬ。)
 → 
(1) 最初はグー、じゃなくて「最初は1」、これに〇印をつけて最左の商の上に①と書く。
(2) あとは商の並びに対し「足し算と掛け算」
   ①+3×2=7
をした結果の 7 に丸印をつけて商の上に⑦と書く。
(3) あとは(2)の繰り返しだが、今の場合は繰り返さずに 1 回で終わってしまう。
最右の ⑦ と右から2番目の商(または丸数字)の 3 が特殊解で、90 と 39 にたすき掛けすると確かに
39×⑦-90×3=3
で、GCM の 3 になっている。(特殊解は $x=-3, y=7$ という訳だ。)

もっと割り算が長く続く問題もやってみよう。

【問1-2】 $105 x+38 y=1$ の整数解を 1 組探せ。---

【解】

上図の連続割り算により、$(105,38)=1$ が出てくるので、解は存在する。特殊解を求めよう。
初めは①,
あとは「足し算と掛け算」を繰り返して、
  ①+4×3=13,
  4+13×1=17,
  13+17×2=47
と商の上に数を並べていき、
最後にたすき掛けすると
$105\times 17-38\times 47=-1$
だから、$x=-17, y=47$ (答)

この方法で特殊解が求まることは割と簡単に証明できる。今の問では商が 5 個立ったが、商の数を $n$ として $n$ に関する帰納法を使えばよいのである。なお一般解は
$x=-17+38 k$,
$ y=47-105 k$
である。

「こんな不定方程式を解いて何の役に立つのだ」と言われそうだから次の問題をやってみよう。

【問1-3】次の等式を満たす整数 $a, b$ を求めよ。---


   $\frac{23}{38 \times 105}=\frac{a}{38}+\frac{b}{105}$

【解】 通分の逆で部分分数分解と言う。分母を払えば
$105 a+38 b=23$
だが、【問1-2】の答の $(x,y)=(-17,47)$ を $-23$ 倍した $-23(x,y)=(-17\times 23,47\times 23)$ を使って
$105 \times (-17) \times 23+38 \times 47 \times 23 =23$
だから、
$a=-391, b=1081$
と分かる。与式に代入して、変形して
$\frac{23}{38 \times 105}=-\frac{391}{38}+\frac{1081}{105}$
$=-(10+\frac{11}{38})+(10+\frac{31}{105})$
$=-\frac{11}{38}+\frac{31}{105}$
これが答の 1つ(ともに真分数)である。

一般解も求めておくと
$a=-391+38 k $,
$b=1081-105 k$

で、実は答は無数にあるのだ。「仮分数は使わず真分数だけの和差に変形せよ」と制限しておかないと答が絞れない。($k=10$ のときが先の答)

このように部分分数分解の答は1つとは限らぬ。例えば

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$
の部分分数分解には、この他に
$\frac{1}{2}(\frac{x}{x-1}-\frac{x+2}{x+1})$

などの分解がある。(もちろん真分数の和差に限定すれば答はユニークになる。)

【問1-3】の部分分数分解をした分数の分母は

$38 \times 105 =(2 \times 19)\times (3 \times 5 \times 7)$

と各素数を高々 1 個しか含まないが、分母に素数または既約多項式(2つひっくるめて素元と言う) のベキが含まれていると

$\frac{1}{x^2(x+1)}=(\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x})+\frac{c}{x+1}$

のようになる($x^2$ の処理に注目)。では分母が $ p^5q^4$ の場合をやってみよう。

【問1-4】 次の分数を部分分数分解せよ。---
   $\frac{5}{2^5 \times 3^4}$

【解】 明らかに互いに素 $(2^5, 3^4)=1$ で、不定方程式の特殊解は下図のように、

$32\times 38-81\times 15=1$

である。 よって左辺を 5 倍して $2^5 \times 3^4$ で割って

$\frac{38 \times 5}{3^4}-\frac{15 \times 5}{2^5}=\frac{190}{3^4}-\frac{75}{2^5}$
このあと、2つの分子を処理する。やり方は 十進法 → 3進法、2進法 の変換と同じだ。
上の連続割り算から3進数、2進数に直すとそれぞれ
$190=21001_{(3)}$,
$75=1001011_{(2)}$
だが、前者は $3^4$ で割り、後者は $2^5$ で割るから、くだんの分数は小数点がそれぞれ 4 個、5 個ずれて
$\frac{190}{3^4}=2.1001_{(3)}$,
$\frac{75}{2^5}=10.01011_{(2)}$

となる。よって、2つの分数はそれぞれ

$\frac{190}{3^4}=2+\frac{1}{3}+\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^3}+\frac{1}{3^4}=2+\frac{1}{3}+\frac{1}{81}$,
$\frac{75}{2^5}=1\times 2+0+\frac{0}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{0}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=2+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$

となるので、問題の分数は

$(2+\frac{1}{3}+\frac{1}{81})-(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32})$
$=\frac{1}{3}+\frac{1}{81}-\frac{1}{4}-\frac{1}{16}-\frac{1}{32}$
となる。これが答だ。(すべてが真分数だ。)
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§2. パスカルの三角形

【問2-1】 下図にパスカルの三角形を描け。---
【答】
プリント教材の版下はExcelで作図する。でも作りにくい。上図のように三角形でなく、下図のような四角形にしてもよいのだ。
ところでコレって、格子状の街路を最短距離で行く経路の個数を表している。だから、パスカルに現れる数値は組合せの数(二項係数とも言う)なのである。

この「各交差点に、左にある数と上にある数を足したものを書く」というルールでやっていけば、次のような問題が解ける。

【問2-2】 下図のような街路がある。×印の通行止2ケ所のほかに冠水して通れない道があり、立体交差が1ケ所ある。
A地点からB地点に遠回りせずに行く経路の数を求めよ。---

【答】
22通り

このような問題は簡単に作ることができるので、生徒同士で作問して相手に解かせるのも楽しい。

パスカルの三角形をめぐっては、塗り絵の問題も面白い。

【問2-3】 パスカルの三角形において、偶数を赤、奇数を青で色塗りせよ。---

【答】

 これを発展させ、色数を増やすのもよい。

【問2-4】 整数を 3 で割ったときの余りは 0, 1, 2 のいずれかである。3 種類の余りに 3 色を割り当てて色塗りをせよ。---

【解】 逐一、二項係数の値を3で割ってもよいのだが、下図の [色塗りパターン] を作成しておいて、これをチラ見しながら塗るのが楽だ。この色塗りパターンは次図の [和の演算表] から作ることができる。これを(mod)が 3 の足し算と呼ぼう。

      [色塗りパターン]
上のパターンでは、同じ数字のところに同じ色が塗られている。
和の総当たりは $3 \times 3=9$ 通りだが、交換則が成り立つことから $_{3}H_{2}=6$ 通りの色塗りパターンとした。


 [和の演算表]
授業では、色数をさらに増やして mod.7 の足し算を計算させて、7 色の色鉛筆を使って塗り絵をさせたこともある。色数はここらへんが限界で、これより増やすと色弱でなくても色の区別がつかなくなる。

$mod.n$ の和ばかりじゃ面白くない。次節において、積の計算をしてみよう。
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§3. 合同式における乗除

【問3-1】 法が 6 の積の演算表を作れ。---

【答】
掛け算九九の表だ。0 の行と、0 の列は結果が 0 と明らかだから省略してある。しかしそれ以外にも掛けて 0 になるところがある。2×3 や 3×4 などである。これらを零因子と呼ぶ。なぜこうなるかと言うと、法が合成数だからだ。

では「法が素数なら零因子は生じないと言っていいかな」と、次の段階に進む。生徒の反応に対応して、証明させるもよし、具体的に法が素数の場合の積の演算表を作らせてもよいだろう。

零因子があったら除法ができないことが起きる。分母が零因子だと倍分して分母が 0 になってしまうからで、例えば
$\frac{5}{ 2}=\frac{5\times 3}{2\times3}=\frac{3}{0}=$?
は計算できない。2の段の九九を見ても分かることである。でも法が素数なら、零因子がないだけでなく除法が必ずできる(もちろん0で割ることを除く)。

【問3-2】 13 を法とするとき、$6\div7$ を計算せよ。---

【解】 7 の逆数が分かればよい。法 13 の積の演算表(または 7 の段の九九の表だけでもよい)を作ればよいのだが、そこまでしなくても
$7\times 1=7,  7\times 2=14=1, \cdots$
となるから、逆数は $1/7=2$ とすぐ分かる。よって
$6 \div7=6\times(1\div 7)=6\times2=12$ (答)


【問3-3】 105 を法とするとき、38 の逆数を求めよ。---

【解】 105 は合成数なのだが、38 と互いに素だから(38 は法 105 の既約剰余類に属すると言う)、逆数を持つ。【問1-2】の(答)より

$38\times 47-105\times 17=1$
だったから、法 105 の世界では
$38 \times 47=105\times17+1=1 (mod.105)$
となる。よって $\frac{1}{38}=47$ (答)
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§4. 循環小数

【問4-1】 下図・左をヒントに、$\frac{1}{2}$ を小数に直せ。---
「先生、商の 4 は 5 の間違いじゃないですか」
「4 でも 5 でもどっちも正解なんだよ」
「次の商は 10 ですよね」
「□の中には 1 桁の数しか入れられないよ」
「それじゃ、9 にするか。アレ、永久に割り切れなくなっちゃった」

【答】 答は上図の右。
$\frac{1}{2}=0.4999\cdots$
循環小数になる。つまり、有理数はすべて循環小数に直せる訳だ。

この答を信じがたいと言う生徒が多いので、
$x=0.4999\cdots$ とおいて、$10x=4.9999\cdots$ から引いて
$9 x=4.5$
$x=0.5$
と、有限小数にも直せることを示す。

あるいは $\frac{1}{3}=0.333\cdots$ の 3 倍が
   $1=0.999\cdots$
だから、
   $0.4999\cdots=0.999\cdots-0.5=0.5$
とやってもよい。

結局、既約分数において、分母が 2 と 5 以外の素因数を含まなければ、有限小数にも循環小数にも直せることが分かる。

次に、循環小数にしかならない分数を扱う。

【問4-2】 $\frac{1}{7}$ を循環小数に直せ。---
繰り返し 7 で割るのだが割り切れない。だから余りは 1~6 の 6 種類のうちのどれか。だから循環節の長さは高々 6 になるのは確かなのだが、この場合は最長の 6 になる。

分母が素数 $p$ だったら、循環節の長さはいつでも $p-1$ になるかというと、そうでもない。分母= 7 のときの上の割り算を分析すると
   $10=3 (mod. 7)$,
   $10^2=3\times10=30=2$,
   $10^3=2\times10=20=6$,
   $10^4=6\times10=60=4$,
   $10^5=4\times10=40=5$,
   $10^6=5\times10=50=1$
というように、10 の累乗を計算すると(0以外の) 1~6 のすべてが出てくるので、循環節が最長となるのである。

ということは、10 進法の 10(=3) が法 7 の原始根になっていることを意味する。


【問4-3】 法 11 において、10 は原始根になるか。---

【解】 
   $10^1=-1 (mod. 11)$
   $,10^2=-10=1$
2 乗でもう 1 になってしまう。($10=-1$ だから 2 乗で 1 になるのは当たり前ではある。) 循環節の長さは 2 であって、実際

$\frac{1}{11}=0.090909\cdots$
である。(答)原始根ではない。


【問4-4】 法11における原始根を探せ。---

【解】 2 の 1 乗、2 乗、3 乗、…、10 乗を計算すると
  $2, 4, 8, 5,10, 9, 7, 3, 6, 1$ (*)
と 0 以外のすべての数を亘るから、2 は原始根だ。(答) 2

ちなみに、(*)において偶数番目の数 4, 5, 9, 3, 1 を 11 の平方剰余(略して剰余)と呼び、奇数番目の 2, 8, 10, 7, 6 を平方非剰余(非剰余)と呼ぶ。文法的には「非平方剰余」ではないかと思うが、歴史的にこのような術語になったのだろう。

2 以外でも原始根になるかと言うと、必ずしもそうはならず例えば 3 だと(*)より

$3=2^8, 3^5=2^{40}=1^4$
と 5 乗で 1 になってダメ。2 以外で原始根になるのは 6, 7, 8 だけである。それを知るには下図の円盤を描けばよい。
ここには 1 の(複素)10乗根
   $\cos \frac{2k\pi}{10}+i \sin\frac{2k\pi}{10}$
が描かれている。そして原始根は1の原始(・・)10乗根(10乗未満ではダメで、10乗で初めて1になる複素数のこと)に対応する。だから、(*)の10個の数のうち、〇印を付けた指数が10と互いに素である、
   1乗(=2),3乗(=8),7乗(=7),9乗(=6)
が原始根だ。(答)2,6,7,8


原始根を探すには実は Excel を使えば楽勝だ。例えば mod.7 の場合、2~6 を各々 2 乗、3 乗、… した結果を作ると下表のようになる。

最下行を見ればどれでも 6 乗で 1 になること (フェルマーの小定理) が見て取れるが、6 乗するまで 1 が出てこないのは 3 と 5($=3^5$ ) のみなので、この 2 数が原始根と分かる。法が変わっても Excel なら即座に原始根が見つかるし、10 の累乗の列を見れば循環節の長さが $p-1$ になる分母 $p$ もたやすく見つかる。

でも情報科でなく数学の授業でパソコンを使えるのはよほど条件のよい学校だろう。

では、Excel を使わずに原始根を求めるにはどうすればよいか。

【問4-5】 法 17 の原始根をすべて求めよ。---

【解】 小さい数から試す。初めは 2 だ。(小さい数から試す流儀の他に、10 に近い数から試す流儀もある)
2 の 1 乗、2 乗、3 乗、4 乗を計算すると
   $2$,
   $2^2=4$,
   $ 2^3=8$,
   $ 2^4=16=-1$
4 乗が $-1$ だから 8 乗で 1 になる。だから 2 は原始根ではない。ちなみに 5 乗~ 8 乗は
   $-2=15$,
   $-4=13$,
   $-8=9$,
   $-16=1$
ここに出てきた 8 個の数は原始根になりえない。原始根の候補になるのは残りの 8 個の、
   $ 3, 5, 6, 7, 10=-7, 11=-6, 12=-5, 14=-3$
である。
今の場合、原始根は 16 乗して初めて 1 になる数のことだから、8 乗では $-1$ になる。(素数を法とする世界では、2次方程式 $x^2=1$ の解は高々 2 個であるという性質が成り立つ。)
$-1=16(mod.17)$ だから、4 乗では$\pm 4$ になればよい。
そこで上の候補のすべてに当たってみると
   $(\pm 3)^4=81=13=-4$,
   $(\pm5)^4=25^2=8^2=64=13=-4$,
   $(\pm6)^4=36^2=2^2=4$,
   $(\pm7)^4=49^2=(-2)^2=4$
なんとすべてが生き残る。
したがって法 17 の原始根は
   $\pm3, \pm5, \pm6, \pm7$
で、円盤を描くと下図になる。3 を
   $\cos \frac{2\pi}{16}+i \sin\frac{2\pi}{16}$
に対応させている。16と互いに素な数はすべての奇数だから、図中8個の〇印が原始根になる。

(答) $3,5,6,7,10,11,12,14$

なんと 10 が原始根になっているではないか。
$\frac{1}{17}$ を割り算して小数に直そう。余りは円盤の 10 から始まって 3 個ずつ左回りするから、余りの系列は
   $ 10,15,14,4,6,9,5,16,7,2,3,13,11,8,12,1$
と進む。商の方を求めると循環小数
   $0.0\dot{5}8823529411764\dot{7}$
が得られ、たしかに循環節の長さが $17-1=16$ で最長になる。

原始根が見つかると、円盤が描け、円盤が計算尺となって、乗除の計算が楽にできる。
法17で、例えば $14\times 13$ なら円盤上で 14 から 4 個左回りして、

14→8→7→4→12

で $14\times 13=12$ と分かるし、割り算は逆回転で右回りすればよい。
逆数は共役複素数に対応しており、例えば 10 の逆数は $x$ 軸について対称移動して 12 であると分かる。たしかに $\frac{3}{16}$ 回転と $\frac{13}{16}$ 回転を合わせれば 1 周である。

【蛇足】通常、対数尺を利用して作ったものが計算尺だが、これには物指しタイプと円盤タイプの2種類がある。上述した計算尺は後者のことである。
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