[婆茶留高校数学科☆HP] SubTopPageに戻る

【入試問題研究】 琉球大学 2019年度 前期日程
Copyright (C) virtual_high_school, 2019

【第1問】 $a$ と $b$ は定数で、$a\neq 0$ かつ $b\neq 0$ とする。次の問いに答えよ。
(1) 関数 $f(x)=e^{ax}\sin(bx)$ と $g(x)=e^{ax}\cos(bx)$ について、$af(x)-bg(x)$ と $bf(x)+ag(x)$ を微分せよ。
(2) 不定積分 $\int e^{ax}\sin(bx)dx$ と $\int e^{ax}\cos(bx)dx$ を求めよ。
(3) 曲線 $y=e^{-x}\sin x$ ($0\leq x \leq \pi$) と $x$ 軸で囲まれた図形を、$x$ 軸のまわりに 1回転してできる立体の体積を求めよ。


【解】(1) 積の微分公式を使う。
   $(af(x)-bg(x))'=(ae^{ax}\sin(bx)-be^{ax}\cos(bx))'$
   $=a^2e^{ax}\sin(bx)+abe^{ax}\cos(bx)-abe^{ax}\cos(bx)+b^2e^{ax}\sin(bx)$
   $=(a^2+b^2)e^{ax}\sin(bx)$……(答)
   $(bf(x)+ag(x))'=(be^{ax}\sin(bx)+ae^{ax}\cos(bx))'$
   $=abe^{ax}\sin(bx)+b^2e^{ax}\cos(bx)+a^2e^{ax}\cos(bx)-abe^{ax}\sin(bx)$
   $=(a^2+b^2)e^{ax}\cos(bx)$……(答)

(2) 前問の答を逆に使えばよい。
   $\int e^{ax}\sin(bx)dx=\frac{1}{a^2+b^2}(ae^{ax}\sin(bx)-be^{ax}\cos(bx))+C$,
   $\int e^{ax}\cos(bx)dx=\frac{1}{a^2+b^2}(be^{ax}\sin(bx)+ae^{ax}\cos(bx))+C$……(答)

(3) $0\leq x \leq \pi$ において $y\geq 0$ であるから、体積 $V$ は
   $V=\pi\int_{0}^{\pi} e^{-2x}\sin^2 xdx=\pi\int_{0}^{\pi} e^{-2x}\frac{1-\cos 2x}{2}dx$
   $=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}e^{-2x}dx -\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}e^{-2x}\cos 2xdx$
ここで2つ目の定積分の原始関数がむつかしい。でも、(2)の2つ目の答において $a=-2,b=2$ とすれば分かる。よって
   $=\frac{\pi}{2}[-\frac{1}{2}e^{-2x}]_{0}^{\pi}-\frac{\pi}{2}[\frac{1}{8}(2e^{-2x}\sin(2x)-2e^{-2x}\cos(2x)]_{0}^{\pi}$
   $=-\frac{\pi}{4}(e^{-2\pi}-1)-\frac{\pi}{16}\{ -2(e^{-2\pi}-1) \}$
   $=(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{8})(e^{-2\pi}-1)=-\frac{\pi}{8}(e^{-2\pi}-1)$……(答)
 PageTopへ


【第2問】 関数 $f(x)=\frac{\log x}{x^2}$ ($x>0$) とする。$f(x)$ の最大値を与える $x$ を $a$ とする。次の問いに答えよ。
(1) 関数 $f(x)$ の増減を調べることにより、$a$ の値および最大値 $f(a)$ を求めよ。
(2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t,f(t))$ における接線が原点 $(0,0)$ を通るとき、その接線の方程式を求めよ。
(3) 曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸および直線 $x=a$ で囲まれた図形の面積を求めよ。


【解】(1) 微分すれば
   $f'(x)=\frac{(1/x)\cdot x^2-2x\log x}{x^4}=\frac{1-2\log x}{x^3}$
臨界点は $\log x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\sqrt{e}$……(答)
で、この点の前後で導関数が正から負に変わるから、極大点(最大点)を与える。その値は
   $f(\sqrt{e})=\frac{1/2}{\sqrt{e}^2}=\frac{1}{2e}$……(答)

   


(2) $x=t$ における接線は
   $y-\frac{\log t}{t^2}=\frac{1-2\log t}{t^3}(x-t)$
なので、これに $(x,y)=(0,0)$ を代入して
   $\frac{\log t}{t^2}=\frac{1-2\log t}{t^2} \Rightarrow \log t=\frac{1}{3} \Rightarrow t=\sqrt[3]{e}$
よって接線の方程式は
   $y=\frac{1-2/3}{\sqrt[3]{e}^3}x \Rightarrow y=\frac{1}{3e} x$……(答)

(3) 関数のグラフと $x$ 軸との交点は $(1,0)$ であるから、求めるべき面積は部分積分で
   $\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\log x}{x^2}dx=[-\frac{1}{x}\log x]_{1}^{\sqrt{e}}+\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{1}{x^2}dx$
   $=-\frac{1}{\sqrt{e}}\cdot \frac{1}{2}+[-\frac{1}{x}]_{1}^{\sqrt{e}}=-\frac{1}{2\sqrt{e}}-(\frac{1}{\sqrt{e}}-1)$
   $=-\frac{3}{2\sqrt{e}}+1$……(答)
 PageTopへ


【第3問】 数列 $\{ a_{n}\}$ が
   $a_{1}=1,a_{2}=2,a_{n+2}=\sqrt{\frac{a_{n}}{a_{n+1}}}(n=1,2,3,\cdots)$
で定められるとき、次の問いに答えよ。
(1) $b_{n}=\log_{2} a_{n}$ とする。$b_{n+2}$ を $b_{n+1},b_{n}$ を用いて表せ。
(2) (1) で求めた関係式を次のように表すとき、定数 $p,q$ を定めよ。
   $\left\{ \begin{array}{ll} b_{n+2}-pb_{n+1}=q(b_{n+1}-pb_{n})\\ b_{n+2}-qb_{n+1}=p(b_{n+1}-qb_{n}) \end{array} \right. (n=1,2,3,\cdots)$
ただし、$p \geq q$ とする。
(3) (2) で求めた $p,q$ を用いて数列 $\{c_{n}\},\{d_{n}\}$ を次のように定める。
   $c_{n}= b_{n+1}-pb_{n}(n=1,2,3,\cdots)$
   $d_{n}= b_{n+1}-qb_{n}(n=1,2,3,\cdots)$
一般項 $c_{n},d_{n}$ をそれぞれ求めよ。
(4) 一般項 $b_{n}$ および極限 $\lim_{n\rightarrow \infty}a_{2n},\lim_{n\rightarrow \infty}a_{2n+1}$ を求めよ。


【解】(1) 与式の対数をとれば
   $\log_{2}a_{n+2}=\frac{1}{2}(\log_{2}a_{n}- \log_{2}a_{n+1})$
だから
   $b_{n+2}=-\frac{1}{2}(b_{n+1}- b_{n})$……(答)

(2) ここで与えられた式について、$b_{n+2}$ 以外を右辺に移項すると、
   $b_{n+2}=(p+q)b_{n+1}-pqb_{n}$
これと前問の答を係数比較して
   $p+q=-\frac{1}{2},pq=-\frac{1}{2}$
$p,q$ は2次方程式
   $2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)=0$
の解だから
   $p=\frac{1}{2},q=-1$……(答)

(3) $c_{n}= b_{n+1}-pb_{n}$ は、初項 $c_{1}=b_{2}-pb{1}=\log_{2}2-\frac{1}{2}\log_{2}1=1$ で、公比が $q=-1$ の等比数列だから、一般項は
   $c_{n}=(-1)^{n-1}$……(答)

一方、$d_{n}= b_{n+1}-qb_{n}$ は、初項 $d_{1}=b_{2}-qb{1}=\log_{2}2-(-1)\log_{2}1=1$ で、公比が $p=\frac{1}{21}$ の等比数列だから、一般項は
   $d_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$……(答)

(4) 前問の答の
   $c_{n}= b_{n+1}-pb_{n}=(-1)^{n-1}$,
   $d_{n}= b_{n+1}-qb_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$
において、前式×$q$-後式×$p$ とすれば
   $(q-p)b_{n+1}=q(-1)^{n-1}-p(\frac{1}{2})^{n-1}$
より
   $b_{n+1}=-\frac{2}{3} \{(-1)^{n}-(\frac{1}{2})^{n}\}$
$n$ を $n-1$ に置き換えて
   $b_{n}=-\frac{2}{3} \{ (-1)^{n-1}-(\frac{1}{2})^{n-1} \}=\frac{2}{3}(-1)^n+\frac{1}{3}(\frac{1}{2})^{n-2}$……(答)

よって、偶数番目は
   $\log_{2}a_{2n}=b_{2n}=\frac{2}{3}(-1)^{2n}+\frac{1}{3}(\frac{1}{2})^{2n-2}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}(\frac{1}{2})^{2n-2}$
ここで $n\rightarrow \infty$ とすれば
   $\log_{2}\lim a_{2n}=\frac{2}{3} \Rightarrow \lim a_{2n}=\sqrt[3]{4}$……(答)

奇数番目は
   $\log_{2}a_{2n+1}=b_{2n+1}=\frac{2}{3}(-1)^{2n+1}+\frac{1}{3}(\frac{1}{2})^{2n-1}=-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}(\frac{1}{2})^{2n-1}$
ここで $n\rightarrow \infty$ とすれば
   $\log_{2}\lim a_{2n+1}=-\frac{2}{3} \Rightarrow \lim a_{2n+1}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$……(答)
 PageTopへ


【第4問】 箱の中に赤玉 1個と白玉 2個が入っている。この箱から玉を 1個取り出し、玉の色を見た上で箱に戻すという試行を $n$ 回繰り返す。赤玉が連続して $m$ 回以上出た確率を $P(n,m)$ とおく。ただし、$n\geq m \geq 2$ とする。次の問いに答えよ。
(1) $P(2,2),P(3,2),P(4,2)$ を求めよ。
(2) $P(m,m),P(m+1,m),P(m+2,m)$ を求めよ。
(3) $n=m+1,m+2,m+3,\cdots,2m$ に対し $P(n,m)-P(n-1,m)$ を求めよ。
(4) $P(2m,m)$ を求めよ。

【解】(1) まず下図の[左]参照。
   $P(2,2)=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$……(答)
   

3回投げなら図の[中]。初めの 2回が(赤赤)と(白赤)の場合に分けて考えて
   $P(3,2)=(\frac{1}{3})^2+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{27}$……(答)

4回投げなら図の右。初めの 2回を4つの場合に分けて考える。
ア. 初めの2回が (赤赤) のとき、あとは何色でも構わない。
   $(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) \cdot 1$
イ. 初めの2回が (白赤) のとき、赤がそのあと1回出ればよい。
   $(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{3} \cdot 1$
ウ. 初めの2回が (赤白) のとき、残りはすべて赤が出ること。
   $(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}) \cdot (\frac{1}{3})^2$
エ. 初めの2回が (白白) のとき、同上。
   $(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}) \cdot (\frac{1}{3})^2$
総計すれば
   $\frac{9}{3^4}+\frac{6}{3^4}+\frac{2}{3^4}+\frac{4}{3^4}=\frac{21}{81}=\frac{7}{27}$……(答)

(2) 前問を真似する。
   $P(m,m)=(\frac{1}{3})^m$……(答)

次は、初めの 2回が(赤赤)と(白赤)の場合に分けて考えて
   $P(m+1,m)=(\frac{1}{3})^2\cdot (\frac{1}{3})^{m-2} +\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3})^{m-1}=\frac{3+2}{3^{m+1}}=\frac{5}{3^{m+1}}$……(答)

その次は、4つに場合分けして、
ア. 初めの2回が (赤赤)
   $(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) \cdot (\frac{1}{3})^{m-2}$
イ. 初めの2回が (白赤)
   $(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}) \cdot (\frac{1}{3})^{m-1}$
ウ. 初めの2回が (赤白)
   $(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}) \cdot (\frac{1}{3})^m$
エ. 初めの2回が (白白)
   $(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}) \cdot (\frac{1}{3})^m$
総計すれば
   $P(m+2,m)=\frac{9+6+2+4}{3^{m+2}}=\frac{21}{3^{m+2}}=\frac{7}{3^{m+1}}$……(答)

【蛇足】 $m=2$ を代入して (1) の答と一致するかを確認するとよい。

(3) $P(n,m)$ を2つに場合分けして考える。
ア. 初めの $n-1$ 回で連続 $m$ 回以上赤が出る確率
   $P(n-1,m)$
イ. $n$ 回投げて初めて連続 $m$ 回の赤になる確率
   
後半の $m$ 回はすべて赤で、第 $n-m$ 回目は白であればよい。前半の $n-m-1$ 回で連続 $m$ 回以上は実現しないからだ。なぜなら、$n-m-1=0,1,2,\cdots,m-1$ で $m$ 未満だからだ。これの確率が
   $\frac{2}{3}\cdot (\frac{1}{3})^m$

よって、総計して
   $P(n,m)=P(n-1,m)+\frac{2}{3}\cdot (\frac{1}{3})^m$,
   $P(n,m)-P(n-1,m)=\frac{2}{3^{m+1}}$……(答)

(4) 階差数列の応用だ。前問の答に $n=2m,2m-1,2m-2,\cdots,m+1$ を代入すれば
   $P(2m,m)-P(2m-1,m)=\frac{2}{3^{m+1}}$
   $P(2m-1,m)-P(2m-2,m)=\frac{2}{3^{m+1}}$
   $P(2m-2,m)-P(2m-3,m)=\frac{2}{3^{m+1}}$
   $\cdots \cdots \cdots$
   $P(m+1,m)-P(m,m)=\frac{2}{3^{m+1}}$
これらを辺々足すと
   $P(2m,m)-P(m,m)=\frac{2}{3^{m+1}} \times m$,
   $P(2m,m)=(\frac{1}{3})^m+\frac{2m}{3^{m+1}} =\frac{3+2m}{3^{m+1}}$……(答)
 PageTopへ


【第5問】 次の問いに答えよ。
(1) 不定方程式 $21x-10y=1$ の整数解で、$0\leq x \leq 1000$ を満たすものの個数を求めよ。
(2) 任意の自然数 $n$ に対して、$n^5-n$ は $30$ で割り切れることを示せ。
(3) $0^\circ \leq \theta 360^\circ$ のとき、方程式 $\cos(2\theta)+\sin\theta=1$ を解け。


【解】(1) 目の子で
   $21\cdot 1-10 \cdot 2=1$
と、特殊解を見つける。これと $21x-10y=1$ と辺々引き算して
   $21(x-1)-10(y-2)=0$
ここで $21(x-1)=10(y-2)=210t$ とおける(係数の最小公倍数が 210 だから)。よって
   $x=1+10t,y=2+21t$
所期の条件:
   $0\leq 1+10t<1000 \Rightarrow -0.1\leq t<99.9 \Rightarrow 0\leq t \leq 99$
を満たす $t$ は 100 個ある。……(答)

(2) $n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)$ において
   $n-1,n,n+1$
は連続する 3数であるので、このうちの 1つは必ず 3の倍数であり、1個か2個は偶数である。よって、$n^5-n$ は 2でも 3でも割り切れる。
また、$n\equiv 0,1,2,3,4(mod.5)$ に対して
   $(n-1)n(n+1)(n^2+1)\equiv 4 \times 0\times 1 \times 1 \equiv 0(mod.5)$
   $(n-1)n(n+1)(n^2+1)\equiv 0 \times 1\times 2 \times 2 \equiv 0(mod.5)$
   $(n-1)n(n+1)(n^2+1)\equiv 1 \times 2\times 3 \times 0 \equiv 0(mod.5)$
   $(n-1)n(n+1)(n^2+1)\equiv 2 \times 3\times 4 \times 0 \equiv 0(mod.5)$
   $(n-1)n(n+1)(n^2+1)\equiv 3 \times 4\times 0 \times 2 \equiv 0(mod.5)$
だから、いかなるときも 5で割り切れる。
よって、$n^5-n$ は 2でも 3でも 5でも割り切れるから、その最小公倍数=30 でも割り切れる。■

(3) 2倍角の公式を使って
   $1-2\sin^2\theta+\sin\theta=1$
   $2\sin^2\theta-\sin\theta=0$,
   $\sin\theta(2\sin\theta-1)=0$,
   $\sin\theta=0,\frac{1}{2}$,
   $\theta=0^\circ,30^\circ,150^\circ,180^\circ$……(答)
 PageTopへ


【第6問】 $a$ は正の実数とする。$y=2ax^2-(5a-1)x+2a+1$ で表される放物線を $C$ とする。次の問いに答えよ。
(1) 放物線 $C$ は $a$ の値によらず、2定点を通る。その 2定点の座標をそれぞれ求めよ。
(2) 放物線 $C$ と放物線 $y=x(1-x)$ がただ 1つの共有点をもつとき、その共有点の座標と $a$ の値を求めよ。
(3) (1) で求めた 2定点を通る直線と放物線 $C$ で囲まれる部分の面積を $S$ とする。$S$ の値を $a$ を用いて表せ。


【解】(1) デザルグの定理を使う。与式を変形し
   $a(2x^2-5x+2)+(-y+x+1)=0$
この曲線は連立方程式:
   $\left\{ \begin{array}{l} 2x^2-5x+2=0 \\ -y+x+1=0 \end{array}\right.$
を満たす点を通る。方程式を解くと
   $(2x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2},2$
より
   $(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2}),(2,3)$……(答)

(2) 2つの放物線の式を連立。$y$ を消去すると
   $(2a+1)x^2-5ax+2a+1=$……(*)
だが、$a>0$ より2次の係数は 0にならないから、これは2次方程式である。よって、これが重解を持てばよい。
   $D=25a^24(2a+1)^2=0 \Rightarrow (9a+2)(a-2)=0$
$a>0$ より $a=2$……(答)

(*) に代入すれば
   $5x^2-10x+5=0 \Rightarrow x=1$
   $y=x(1-x)=0$
よって共有点は $(1,0)$……(答)

(3) 2定点を通る直線は
   $y-3=\frac{3/2}{3/2}(x-2) \Leftrightarrow y=x+1$
下に凸の放物線とできる面積は
   $S=\int_{1/2}^{2}\{ (x+1)-(2ax^2-(5a-1)x+2a+1)\}dx=\int_{1/2}^{2}( -2ax^2+5ax-2a)dx$
   $=[-\frac{2a}{3}x^3+\frac{5a}{2}x^2-2ax]_{1/2}^{2}$
   $=-\frac{2a}{3}(8-\frac{1}{8})+\frac{5a}{2}(4-\frac{1}{4})-2a(2-\frac{1}{2})=\frac{9}{8}a$……(答)
 PageTopへ


★「婆茶留高校」は架空の存在であり、実在の人物、団体とは関係ありません。
<-- クリックして婆茶留高校へメール送信 mailto: virtual_h_s@yahoo.co.jp 
URL:http://www.virtual-hs.com/ Powered by   Copyright(c) virtual_high_school, 2001-2021