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【入試問題研究】 神戸大学 2019年度 前期日程
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【第1問】 以下の問に答えよ。
(1) 関数
   $f(x)=\frac{\log x}{x}$
の $x>0$ における最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。
(2) $a$ を $a \neq 1$ をみたす正の実数とする。曲線 $y=e^x$ と曲線 $y=x^a$ ($x>0$) が共有点 $P$ をもち、さらに点 $P$ において共通の接線をもつとする。点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とするとき、$a$ と $t$ の値を求めよ。
(3) $a$ と $t$ を (2) で求めた実数とする。$x$ を $x\neq t$ をみたす正の実数とするとき、$e^x$ と $x^a$ の大小を判定せよ。

【解】(1) 微分すると
   $f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}$
$x=e$ のとき $f'$ が 0 になり、その前後で導関数は正から負に変わるから、ここが極大である。よって $x>0$ における最大値は
   $f(e)=\frac{1}{e}$……(答)

(2) $x=t>0$ のとき関数値が等しく、接線の傾きが等しいから
   $e^t=t^a,e^t=a t^{a-1}$
等置して
   $t^a=a t^{a-1} \Rightarrow t=a$,
   $e^a=a^a \Rightarrow a=a \log a \Rightarrow a=e$
したがって、$a=t=e$……(答)

(3) きっと(1)の結果を使うのだとあたりをつける。$x>0$ において
   $f(x)=e^x-x^e=e^x(1-\frac{x^e}{e^x})$
とおく。$x^e>0,e^x>1$ はともに正であることに注意して、これの比を 1 と比べよう。
対数関数は単調増加($a<b\Leftrightarrow f(a)<f(b)$)だから、両者の対数をとって比較する。
   $\log (x^e)=e\log x,\log (e^x)=x$
で、(1) より
   $\frac{\log x}{x}\leq \frac{1}{e}$
ただし等号成立は $x=e$ のときであり、いま $x \neq e$ とされているから、等号が除かれ
   $e \log x < x \Leftrightarrow x^e < e^x$
よって
   $\frac{x^e}{e^x} < 1$,
   $1-\frac{x^e}{e^x}>0$,
   $e^x-x^e>0$
したがって
   $e^x>x^e$……(答)
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【第2問】 $|\vec{AB}|=2$ をみたす $\triangle PAB$ を考え、辺 $AB$ の中点を $M$, $\triangle PAB$ の重心を $G$ とする。以下の問に答えよ。
(1) $|\vec{PM}|^2$ を内積 $\vec{PA}\cdot\vec{PB}$ を用いて表せ。
(2) $\angle AGB=\frac{\pi}{2}$ のとき、$\vec{PA}\cdot\vec{PB}$ の値を求めよ。
(3) 点 $A$ と点 $B$ を固定し、$\vec{PA}\cdot\vec{PB}=\frac{5}{4}$ をみたすように点 $P$ を動かすとき、$\angle ABG$ の最大値を求めよ。ただし、$0<\angle ABG<\pi$ とする。


【解】(1) 所与の式より
   $4=|\vec{AB}|^2=(\vec{PB}-\vec{PA})\cdot(\vec{PB}-\vec{PA})=|\vec{PA}|^2-2\vec{PA}\cdot\vec{PB}+|\vec{PB}|^2$,
   $|\vec{PA}|^2+|\vec{PB}|^2=4+2\vec{PA}\cdot\vec{PB}$
が出てくるので、これと絡ませる。
   
   $|\vec{PM}|^2=|\frac{\vec{PA}+\vec{PB}|^2}{4}=\frac{1}{4}(|\vec{PA}|^2+2\vec{PA}\cdot\vec{PB}+|\vec{PB}|^2)$
   $=\frac{1}{4}(4+2\vec{PA}\cdot\vec{PB}+2\vec{PA}\cdot\vec{PB})$
   $=1+\vec{PA}\cdot\vec{PB}$……(答)

(2) 所与の式より
   $0=\vec{GA}\cdot\vec{GB}=\{ \vec{PA}-\frac{2}{3}(\vec{PA}+\vec{PB}) \}\cdot\{ \vec{PB}-\frac{2}{3}(\vec{PA}+\vec{PB})\}$
   $=\frac{1}{9} (\vec{PA}-2\vec{PB})\cdot(-2\vec{PA}+\vec{PB})=\frac{1}{9} (-2|\vec{PA}|^2-2|\vec{PB}|^2+5\vec{PA}\cdot\vec{PB}$
だが、前問で出したように
   $|\vec{PA}|^2+|\vec{PB}|^2=4+2\vec{PA}\cdot\vec{PB}$
なので、これを代入すれば
   $-2(4+2\vec{PA}\cdot\vec{PB})+5\vec{PA}\cdot\vec{PB}=0$,
   $\vec{PA}\cdot\vec{PB}=8$……(答)

(3) 所与の条件と(1)の答を絡めたら何か出てきそうだ。
   $|\vec{PM}|^2=1+\vec{PA}\cdot\vec{PB}=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} \Rightarrow |\vec{PM}|=\frac{3}{2}$
さすれば
   $\vec{GM}=\frac{1}{3}\vec{PM} \Rightarrow |\vec{GM}|=\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}=\frac{1}{2}$
線分の長さは $AM=BM=1,GM=\frac{1}{2}$ となる。点 $G$ は点 $M$ を中心とし半径が $\frac{1}{2}$ の円の上にある。目的の角を最大にするには点 $B$ からこの円に接線を引けばよい。このときできる直角二等辺三角形 $BMG$ は
   $BM:MG:GB=1:\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}$
となるから、求めるべき角は $\angle ABG=\frac{\pi}{6}$……(答)
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【問題3】 $n$ を 2以上の整数とする。2個のさいころを同時に投げるとき、出た目の数の積を $n$ で割った余りが 1となる確率を $P_{n}$ とする。以下の問に答えよ。
(1) $P_{2},P_{3},P_{4}$ を求めよ。
(2) $n\geq 36$ のとき、$P_{n}$ を求めよ。
(3) $P_{n}=\frac{1}{18}$ となる $n$ をすべて求めよ。


【解】(1) $mod.2$ のかけ算九九の表は下図の通り。
   
積が $\equiv 1$ となるのは $1(mod.2)$ 同士の積しかない。さいころで言えば、2個とも$(1,3,5)$ の目が出る時である。よって
   $P_{2}=(\frac{3}{6})^2=\frac{1}{4}$……(答)
$mod.3$ のかけ算九九の表は下図の[左]( 1の段は省略)。積が $\equiv 1$ となるのは $1(mod.2)$同士の積と$2(mod.2)$同士の積である。2個とも$(1,4)$ か$(2,5)$ の目である。よって
   $P_{3}=(\frac{2}{6})^2+(\frac{2}{6})^2=\frac{2}{9}$……(答)
   
$mod.4$ のかけ算九九の表は上図の[中]。積が $\equiv 1$ となるのは $1(mod.2)$同士と$3(mod.2)$同士である。2個とも$(1,5)$ か$(3)$ の目である。よって
   $P_{4}=(\frac{2}{6})^2+(\frac{1}{6})^2=\frac{5}{36}$……(答)

(2) $mod$ が 36 以上のときの九九の表が上図[右]である。積が $\equiv 1$ となるのは $1(mod.2)$同士しかない。積が 36以上になるのは $6\times 6$ しかないが、$mod$ が最低の 36 であっても、$\equiv 0$ だから残念ながら $\equiv 1$ に達しない。よって
   $P_{n}=(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$ ($n\geq 36$)……(答)

(3) 2個のさいころの目の出方は 36通りだから、確率が $\frac{1}{18}=\frac{2}{36}$ になるということは、$1(mod.n)$ 同士の積と、もう一つ $a(mod.n)$ 同士の積が $\equiv 1$ になるということである。($a \not\equiv b$ で $ab\equiv 1$ があったら $ba\equiv 1$ も存在するので確率が $\frac{1}{18}$ を越えてしまう。)
$a^2 \equiv 1(mod.n)$ というのは、$a^2-1$ が $n$ で割り切れる($n$ は約数)ということを意味する。1ゾロ以外のゾロ目を調べると
   $2^2-1=3 \rightarrow n=3$,
   $3^2-1=8 \rightarrow n=2,4,8$,
   $4^2-1=15 \rightarrow n=3,5,15$,
   $5^2-1=24 \rightarrow n=2,3,4,6,8,12,24$,
   $6^2-1=35 \rightarrow n=5,7,35$
既に $n=2,3,4$ と $n\geq36$ はダメなことを確認しているので、あと調べなくてはいけないのは $n=5,6,7,8,12,15,24,35$ である。
この中で2回以上登場するのが、$n=5,8$ だが、これはダメである(1ゾロ以外にあと2つのゾロ目で $\equiv 1$ になるから)。残りは $n=6,7,12,15,24,35$ の6種類だ。
この中で素数の 7 はダメである。なぜなら 0以外の元はすべて逆元を持つからである。例えば 2の逆元を探してみると
   $2 times 4 = 4 \times 2 \equiv 1(mood.7)$
で、確率が $\frac{1}{18}$ を越えてしまう。
これ以外の $mod$ について、$a \not\equiv b,ab \equiv 1$ になることがあるか否かを調べよう。
● $n=6,12,24$ の場合
偶数と掛けても $\equiv 1$ になる訳がないから、奇数同士の積(1とのかけ算を除く)を試すのだが、それって
   $3 \times 5=15$
しかない。試すと
   $3 \times 5 \equiv 3(mod.6),\equiv 3(mod.12),\equiv 15(mod.24)$
で見つからない。ということは、これらの $mod$ だと確率は $\frac{1}{18}$ になる。
● $n=15,35$ の場合
$a \not\equiv b,ab \equiv 1$ になるか否かを調べるのだが、試すべき組合せは
   $2 \times 3=6,2 \times 4=8,2 \times 5=10,2 \times 6=12,3 \times 4=12,3 \times 5=15,3 \times 6=18,4 \times 5=20,4 \times 6=24,5 \times 6=30$
だ。小さい順に並べ替えると
   $6,8,10,12,15,18,20,24,30$
これの剰余は
   $n=15$ のとき $6,8,10,12,0,3,5,9,0$,
   $n=35$ のとき $6,8,10,12,15,18,20,24,30$
で、$\equiv 1$ にはならない。ということは、これらの $mod$ だと確率は $\frac{1}{18}$ になる。
結論:確率が $\frac{1}{18}$ になるのは $n=6,12,24,15,35$……(答)
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【第4問】 次のように $1,3,4$ を繰り返し並べて得られる数列を $\{a_{n}\}$ とする。
   $1,3,4,1,3,4,1,3,4,\cdots$
すなわち、$a_{1}=1,a_{2}=3,a_{3}=4$ で、4以上の自然数 $n$ に対し、$a_{n}=a_{n-3}$ とする。この数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。以下の問に答えよ。
(1) $S_{n}$ を求めよ。
(2) $S_{n}=2019$ となる自然数 $n$ は存在しないことを示せ。
(3) どのような自然数 $k$ に対しても、$S_{n}=k^2$ となる自然数 $n$ が存在することを示せ。

【解】(1) $n$ を 3で割った余りにより分類する。
$n=3m$ のとき $S_{n}=(1+3+4)m =8m=\frac{8}{3}n$
$n=3m+1$ のとき $S_{n}=(1+3+4)m+1 =8m+1=8\frac{n-1}{3}+1=\frac{8}{3}n-\frac{5}{3}$
$n=3m+2$ のとき $S_{n}=(1+3+4)m+1+3 =8m+4=8\frac{n-2}{3}+4=\frac{8}{3}n-\frac{4}{3}$……(答)

(2) 前問の答えのように和は $8m,8m+1,8m+4$ のいずれかである。すなわち 8で割った余りが $0,1,4$ のいずれかである。
しかるに $2019=8 \times 252+3$ で、2019の剰余は 3なので、この数値は和にはなりえない。■

(3)自然数 $k>0$ を 4で割った余りにより、4つに分類する。
(ア) $k=4l+1(l \geq 0)$ のとき
   $k^2=16l^2+8l+1=8(2l^2+l)+1$
だから
   $m=2l^2+l \geq 0,n=3m+1 \geq 1$
なる $n$ が存在する。
(イ) $k=4l+2(l \geq 0)$ のとき
   $k^2=16l^2+16l+4=8(2l^2+2l)+4$
だから
   $m=2l^2+2l \geq 0,n=3m+2 \geq 2$
なる $n$ が存在する。
(ウ) $k=4l+3(l \geq 0)$ のとき
   $k^2=16l^2+24l+9=8(2l^2+3l+1)+1$
だから
   $m=2l^2+3l+1 \geq 1,n=3m+1 \geq 4$
なる $n$ が存在する。
(エ) $k=4l(l \geq 1)$ のとき
   $k^2=16l^2=8 \cdot 2l^2$
だから
   $m=2l^2 \geq 2,n=3m \geq 6$
なる $n$ が存在する。■
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【第5問】 媒介変数表示
   $x=\sin t,y=(1+\cos t)\sin t$ ($0 \leq t \leq \pi$)
で表される曲線を $C$ とする。以下の問に答えよ。
(1) $\frac{dy}{dx}$ および $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表せ。
(2) $C$ の凹凸を調べ、$C$ の概形を描け。
(3) $C$ で囲まれる領域の面積 $S$ を求めよ。

【解】(1) 媒介変数をうまく使って、微分する.
   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{-\sin^2 t+(1+\cos t)\cos t}{\cos t}=\frac{2\cos^2 t+\cos t-1}{\cos t}$
   $=2\cos t+1-\frac{1}{\cos t}$……(答)

第2次導関数は
   $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy/dt})=\frac{d}{dt}(\frac{dy/dt})\cdot \frac{dt}{dx}$
   $=(-2\sin t-\frac{\sin t}{\cos^2 t})/\cos t=-\sin t(2+\frac{1}{\cos^2 t})\frac{1}{\cos t}$……(答)

(2) 第1次導関数は
   $\frac{dy}{dx}=\frac{2\cos^2 t+\cos t-1}{\cos t}=\frac{(2\cos t-1)(\cos t+1)}{\cos t}$
と書き直せる。$t=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}$ の前後で符号が変わる。第2次導関数の方は $t=\frac{\pi}{2}$ の前後で符号が変わる。
増減表は以下の通り。
   
グラフ上の重要な 4点に注意しよう。
  $t=0$ のとき $(x,y)=(0,0)$, 接線の傾きは2,
  $t=\frac{\pi}{3}$ のとき $(x,y)=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3\sqrt{3}}{4})$, 接線の傾きは 0,
  $t=\frac{\pi}{2}$ のとき $(x,y)=(1,1)$, 接線の傾きは $\pm\infty$,
  $t=\pi$ のとき $(x,y)=(0,0)$接線の傾きは 0
である。曲線 $C$ を $t=\frac{\pi}{2}$ の前後で分け、前半を分枝 $C_{1}$, 後半を分枝 $C_{2}$ と呼ぼう。
分枝 $C_{1}$ は $0<x<\frac{\sqrt{3}}{2}$ において上に凸で右上がり、$\frac{\sqrt{3}}{2}<x<1$ において上に凸で右下がりである。
分枝 $C_{2}$ は $0<x<1$ において下に凸で右上がりである。
したがって、そのグラフは下図のようになる。
   

(3) $C_{1}$ と $x=1$, $x$軸で囲まれる部分から、$C_{2}$ と 4x=1$, $x$軸で囲まれる部分を引けばよい。
   $S=\int_{C_{1}}y dx-\int_{C_{2}}y dx=\int_{0}^{\pi/2}y \frac{dx}{dt}dt-\int_{\pi}^{\pi/2}y \frac{dx}{dt}dt
   $=\int_{0}^{\pi/2}(1+\cos t)\sin t \cos t dt-\int_{\pi}^{\pi/2}(1+\cos t)\sin t \cos t dt$
ちなみに
   $\int (1+\cos t)\sin t \cos t dt=\int(\frac{1}{2}\sin 2t+\cos^2 t \sin t=[-\frac{1}{4}\cos 2t-\frac{1}{3}\cos^3 t]$
であるから、
   $S=-\frac{1}{4}[\cos 2t]_{0}^{\pi/2}-\frac{1}{3}[\cos^3 t]_{0}^{\pi/2}-\frac{1}{4}[\cos 2t]_{\pi/2}^{\pi}-\frac{1}{3}[\cos^3 t]_{\pi/2}^{\pi}$
   $=-\frac{1}{4}(-2)-\frac{1}{3}(-1)-\frac{1}{4}\cdot 2 -\frac{1}{3}(-1)=\frac{2}{3}$……(答)
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